В связи с применением метода степенных рядов возникают некоторые важные практические вопросы, например:
— какова точность вычислений основных параметров колебаний, достигаемых с помощью этого метода;
— в какой мере с ростом номера тона колебаний возрастает погрешность вычислений собственных частот;
— сколько членов необходимо удержать в рядах (6) и (10), чтобы получить характеристическое уравнение (10а) заданной степени;
— какая степень характеристического ур-ния (10а) обеспечивает вычисление не менее п ~ 1, 2, . . ., N первых собственных частот и форм колебаний;
— каковы оптимальные пути решения характеристического ур-ния (10а) при высокой степени этого уравнения.
Ответы на эти и другие вопросы оказываются наиболее наглядными, если полученные выше результаты применить к случаю колебаний лопатки постоянного сечения, для которого, в частности, известны замкнутые (точные) решения. В этом случае Р (?) = 1Х (^) = 1 и ур-ние (4) для форм колебаний принимает вид.
Обозначим через р число перемен знаков в ряду коэффициентов ур-ний (Юг)—(Юд). Видно, что для первых двух ур-иий (Юд) р = <7, т. е. по известной теореме Декарта определяются соответственно два и четыре положительных значения Хп и, следовательно, две и четыре собственные частоты. В дальнейшем* с ростом числа т это равенство р и щ нарушается, но устанавливается следующая зависимость:
Здесь значение з= 0, 1, 2, . . . придается соответственно первой (т = 2, 3) второй (/п= 4, 5), третьей (т = 6, 7) и т. д. парам уравнений в последовательности ур-ний (10 д).
Ур-ния (Юг) — (Юд) удобно решать известными методами вычислительной математики, например, методом хорд и касательных или методом обратной интерполяции. Одновременно* при высокой степени ц целесообразно преобразовать исходное характеристическое уравнение путем масштабирования искомой величины. Этот прием, исключая из уравнений «астрономические» цифры, существенно облегчает решение задачи, повышая в то же время точность вычислений. Например, второе уравнение (т = 3) в последовательности (Юд) может быть записано так:
Чтобы попытаться привести его к расчетному виду, умножим левую и правую части этого уравнения на знаменатель первого члена.
Понятно, что определение корней этого уравнения связано со значительными вычислительными трудностями, которые будут увеличиваться с ростом степени характеристического уравнения.
Обозначая первый член в ур-нии (Юе) через V4, т. е. вводя масштаб %п = 24 У210 V, заменяем исходное уравнение эквивалентным.
Решение же этого уравнения с высокой степенью точности легко осуществимо даже на' ЭКВМ.
Точность метода степенных рядов характеризуется табл. 1, где для сравнения приведены параметры колебаний модели турбинной лопатки постоянного сечеиия, вычисленные по замкнутым ф-лам (11), ф-лам (9) метода степенных рядов, а также полученные с использованием численного метода Рунге—Кутта при эквивалентном шаге интегрирования к = х/8.
