Применение метода степенных рядов к расчету колебаний турбинных лопаток
В настоящее время для определения параметров колебаний турбинных лопаток применяются различные модификации вариационных методов, методы начальных параметров и последовательных приближений, численные методы и т. д. Одновременно с целью совершенствования расчетных схем и сокращения объема вычислительной работы продолжается поиск и других рациональных способов, позволяющих определять частоты и формы колебаний лопаток осевых турбомашин. С учетом этих соображений ниже излагается способ вычисления собственных частот и форм колебаний турбинных лопаток, основанный на методе разложения решения исходного дифференциального уравнения форм колебаний в степенной ряд. Достоинства рассматриваемого метода заключаются в следующем:
— отпадает необходимость в надлежащем подборе специальных (координатных) функций, как это делается в методах Бубнова—Галеркина, Ритца, последовательных приближений;
— исключается искусственный прием замены реальной конструкции лопатки дискретной моделью, как это принято? в методе начальных параметров;
— сокращается объем вычислений за счет однократного^ решения задачи Коши [9], тогда как в случае численных методов (например, метода Адамса или Рунге—Кутта) результат достигается при многократном решении этой задачи, и т. д.
Рассмотрим процедуру приложения метода степенных рядов к расчету параметров колебаний турбинных лопаток. В данной статье рассматриваемый пример ограничен частным случаем чисто изгибных колебаний. Здесь применение метода встречает наибольшие трудности. Чтобы сделать расчетные формулы, и основные результаты более обозримыми, опущен учет ряда факторов (центробежные силы, инерции поворота и т. д.), некоторыми добавлениями предлагаемая схема может быть применена и к полной системе дифференциальных уравнений, описывающих совместные колебания закрученных лопаток.
Алгоритм метода. Рассмотрим собственные изгибные колебания лопатки переменного сечения, описываемые известным ! дифференциальным уравнением, где Е, р — модуль упругости и плотность материала; Р, 1Х— площадь и момент инерции поперечных сечений лопатки; I — длина лопатки; I — время; V — V (г, I)—поперечные перемещения точек оси лопатки.
В случае стационарных колебаний решение уравнения, как обычно, находится в виде, где V (г) — амплитуда ((форма) колебаний; п — круговая частота; п — номер тона колебаний.
Для удобства последующих рассуждений и выкладок введем безразмерные координату, функцию формы колебаний и геометрические характеристики:
Здесь и далее штрихи означают операцию дифференцирования по координате
На основании выражения сразу же получаем простую формулу вычисления частот (в Гц) собственных изгибных колебаний лопатки переменного сечения.
Эта формула по своей структуре совпадает с известной формулой вычисления собственных частот изгибных колебаний лопатки (стержня) постоянного сечения. Однако в отличие от последней, в ф-ле (5) 1Х (0), Р (0) — геометрические характеристики корневого поперечного сечения, а собственные числа подлежат дальнейшему определению.
Чтобы найти значения собственных чисел а также соответствующие им выражения функций форм колебаний, удобно применить метод разложения решения дифференциального.
Прежде чем воспользоваться системой (8), учтем следующее. Обычно в выражениях (7), как это вытекает из соотношений (3), д0 = 110 = 1. Кроме того, согласно первой паре краевых условий (4а) и на основании ф-л (6) и (66), получаем, где с и 6, — неизвестные пока постоянные числа.
В результате оказывается, что в общем случае, как это вытекает из системы (7), коэффициенты ряда (6) будут функциями трех чисел су й и Хп, т. е. щ = ас (с, й, Х,п).
Учитывая, однако, что ур-ние (4) является однородным, будем искать его решение (6) с точностью до произвольного множителя. В качестве такого множителя примем число с и положим для простоты.
Теперь в соответствии с этими замечаниями согласно выражениям (8а)—(8в) из системы (8) вытекают рекуррентные формулы по определению коэффициентов из которого определяется весь спектр собственных чисел Х (»= I, 2, 3, . . .).
При проведении практических расчетов, если не представляется возможным найти точные значения сумм функциональных рядов (10), достаточно ограничиться частичными суммами, т. е. последовательно принимать 1 = 3, 7, 11, ... Рекомендации по выбору этих чисел даются ниже.
После определения из ур-ния (10а) собственных чисел Хп на основании одного из ур-ний системы (10) находятся значения Л = У1” (0). Таким образом, для каждого собственного числа определяется свой ряд коэффициентов (9) и, следовательно, своя функция формы колебаний (6). Подставляя далее найденные из ур-ния (10а) числа Хп в ф-лу (5), вычисляем спектр собственных частот изгибных колебаний лопатки переменного сечения. Для любого нз тонов колебаний с использованием ф-л (6в) и (6г) могут быть построены эпюры внутренних моментов и поперечных сил, а также определены относительные значения внутренних напряжений в каждой точке поперечного сечения турбинной лопатки.
