Методика вычисления расстояния от точки до поверхности с использованием ЭВМ

В настоящее время при проектировании лопастных систем рабочих колес гидротурбин широко используется ЭВМ. Однако такой вопрос, как определение толщины лопасти или расстояния в свету между лопастями, в частности, для гидротурбин, решается до сих пор графическим методом, который не позволяет использовать ЭВМ и добиться высокой точности определения искомой величины.
В связи с этим возникает необходимость в разработке литической методики вычисления расстояния от точки до поверхности.
Данная работа посвящается решению этого вопроса.
Постановка задачи. Пусть задана поверхность непрерывной и дважды дифференцируемой функцией. Тогда расстояние от рассматриваемой точки Д) любой точки поверхности можно вычислить по формуле.
Требуется найти точку на поверхности, которая находита на минимальном удалении от заданной. Для этого нужно решит] задачу нахождения экстремума, т. е. решить систему уравнений.
Введем обозначения а ~ х0 — х, р = у0 — у, у = г0 — г и произведем преобразование уравнений (9') — (11')* При этом все члены, содержащие е2, б2 и еб, отбросим как бесконечно малые величины высшего порядка, чем остальные.
Окончательно получим следующую систему уравнений относительно величин е и б.
Быстрота сходимости будет зависеть от выбора начального приближения, т. е. от того, насколько близко расположена точка, которая принимается в качестве начального приближения, к искомой точке.
В случае задания поверхности точечной функцией в качестве начального приближения следует выбрать точку (*3, уъ гх), которая лежит ближе всего к заданной точке (х0, //0, г0). Затем нужно выбрать необходимое количество близлежащих к ней точек и часть поверхности аппроксимировать функцией вида, степень т = 2 или 3. Далее все необходимые для итерационного процесса величины вычисляются в точке. Вопрос об аппроксимации поверхности в данной работе подробно не рассматривается.
Если поверхность задается аналитической зависимостью, вопрос о выборе точки в качестве начального приближения решается в каждом конкретном случае отдельно, в зависимости от характера поверхности.
По этой методике разработан алгоритм вычисления расстояния от точки до поверхности для случая, когда поверхность задается при помощи точечной функции. Координаты точек рассматриваются как одно-индексный массив, при этом не требуется упорядочить задаваемые точки. Для аппроксимации части поверхности функцией вида производится выборка 20 точек из их общего числа, близлежащих к точке, ОТ которой ищется расстояние до поверхности. Такое количество точек выбрано с целью сглаживания аппроксимируемой части поверхности. Коэффициенты многочлена определяются при помощи метода наименьших квадратов 1> получаемая система алгебраических уравнений решается методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
Программа составлена на языке ГДР-АЛГОЛ для ЭВМ БЭСМ-6.
Примеры расчета. Для проверки методики и отладки алгоритма была рассмотрена задача определения расстояния от точки (0; 0, 0,1) до сферы, уравнение которой имеет вид х2 + + У2 + г2 — 1. В качестве начального приближения была принята точка (0; 0,6; 0,8), сравнительно далекая от искомой точки (0; 0; 1), которая может быть указана заранее. Потребовалось всего четыре приближения, чтобы найти искомое расстояние, равное 0,9. Расчет производился вручную и на ЭВМ. Получено совпадение результатов с высокой точностью.
Для опробования программы на практическом примере был произведен расчет по определению расстояния в свету между лопастями рабочего колеса турбины Усть-Илимской ГЭС.
При вычислении расстояния с точностью до 0,0001 мм потребовалось всего три-четыре приближения. Продолжительность счета для шести вариантов на ЭВМ БЭСМ-6 составляет 28 с. В таблице сопоставляются результаты графического и аналитического способов определения расстояния Из сопоставления видно, что совпадение удовлетворительное и укладывается в пределы допуска.
На основании рассмотренного материала можно сделать следующие выводы
Методика дает хороший результат и может быть успешно применена с использованием ЭВМ при решении аналитическим методом ряда практических задач, связанных с проектированием лопастных систем рабочих колес гидромашин.
В частности, для радиально-осевых гидротурбин с помощью этой методики могут быть решены следующие задачи:
— определение расстояния в свету между лопастями рабочих колес;
— определение толщин лопасти;
— задание одной из поверхностей лопасти с помощью радиусов сфер;
— вписывание сфер между двумя поверхностями лопасти.