Методика учета сухого трения в автоматического регулирования

При исследованиях устойчивости систем автоматического регулирования (САР), в частности устойчивости положения регулирующего клапана паровой турбины, методом гармонической линеаризации возникает задача выделения нелинейности в нелинейном звене. В работе рассмотрена характеристика сухого трения при наличии его в некоторых типовых элементах 'САР и показано, что сложное явление сухого трения, приводящее в общем случае колебательного звена к сложным движениям, трудно поддающимся анализу, в частных случаях колебательного звена при отсутствии зон застоя, интегрирующего и алгебраического звеньев может быть описано простыми нелинейными характеристиками типа идеальной релейной, типа зоны нечувствительности и типа зазора.
Рассмотрим апериодическое звено 1-го порядка с «сухим трением, уравнения движения будут иметь вид Ткрх2 + кйх2+ ав'щп рх2= кгхг при рх^ф0; 1 (к2х2 —а)< кхх1 < {к2хг + а) при рхг =0, ), что эквивалентно нелинейной функции ТкРЧ + к2х2 = Р(х{), приведенной на рис. 1, а, где горизонтальные линии 1—4, Г—4ГУ 2—3, 2'—3' и т. д. соответствуют различным значениям х2 в периоды застоя звена, а наличие участков 2—5, 4—6 и т. д. является следствием наличия в звене линейного трения с постоянной времени 7*. Известно, что любое нелинейное звено может быть представлено в виде последовательного соединения нелинейной и линейной частей [1].
Нелинейной функции на рис. 1 ,а соответствует структурная схема выделения нелинейности, представленная на рис. 2, а. Исходя из такой структурной схемы выделения нелинейности, авторы работы 11] делают вывод о трудностях анализа характеристики сухого трения, так как моменты остановки и начала движения звена зависят здесь как от частоты и амплитуды колебаний входной переменной, так и от значения постоянной времени.
В работе [2] рассмотрены вынужденные колебания апериодических звеиье 1-го и 2-го порядков при наличии в звене сухого треиия. Для определения моментов остановок и начала движения звена (точки 2, 4 и т. д. характеристики на рис. 1, а) в работе [2] получена система двух трансцендентных уравнений весьма сложного вида, практическое использование которых весьма затруднительно. Однако возможны другие структурные схемы выделения нелинейности сухого трения в апериодических звеньях 1-го порядка. Рассмотрим два таких возможных случая.
1-й случай.
Структурная схема выделения нелинейности для этого случая приведена на рис. 2, б. Под знак нелинейности введен дополнительно член Т^рх2, т. е. производная от выходной координаты апериодического звена. При такой схеме выделения нелинейности условия по уравнениям будут эквиваленты нелинейной функции к2х2—Р. Таким образом, в этом случае характеристика сухого трения в апериодическом звене 1-го порядка аналогична характеристике люфта.
2-й случай.
Структурная схема выделения нелинейности для этого случая приведена на рис. 2, в, где под знак нелинейности введен дополнительно член #2*2» т- е выходная координата апериодического звена 1-го порядка. . При такой схеме выделения нелинейности условия по уравнениям (1) будут эквиваленты нелинейной функции, приведенной на рис. 1, б. Таким образом, в этом случае характеристика сухого трения в апериодическом звене аналогична характеристике зоны нечувствительности 1-го рода. Правомочность и правильность приведенных случаев выделения нелинейности в апериодическом звене легко доказывается полной идентичностью уравнений и условий сопряжения на границах при рассмотрении апериодического звена на отдельных фазах движения и застоя для всех случаев выделения нелинейности. Таким образом, за счет выбора структурной схемы выделения нелинейности сухого трения возможно и для апериодического звена 1-го порядка получение характеристики нелинейности в виде простых характеристик типа зазора и зоны нечувствительности, анализ которых не представляет затруднений. Рассмотренный нами вопрос имеет значение только при исследованиях устойчивости САР методом гармонической линеаризации.
Отметим, что при исследованиях методом гармонической линеаризации необходимо пользоваться структурной схемой, изображенной на рис. 2, в, так как при этом получаются благоприятные предпосылки для выполнения условий обобщенного фильтра.
Уравнения движения для общего случая колебательного звена с сухим трением имеют вид, где величина а соответствует силе инерции в момент, предшествующий -остановке (рис. 3, а). Движения колебательного звена с сухим трением могут происходить как с остановками, так и без остановок звена.
Согласно уравнениям (2) имеют место семь возможных структурных схем выделения нелинейности в колебательном звене с сухим трением. В настоящей статье рассматривается только одна из этих схем» наиболее целесообразная для исследований устойчивости САР методом гармонической линеаризации, так как в этом случае выделенная характеристика нелинейности сухого трения не зависит как это будет показано ниже, от частоты колебаний и параметров САР. Эта структурная схема выделения нелинейности приведена на рис. 2, г. Под знак нелинейности введены дополнительно члены Т^рх2 и к2х2. Дальнейшие рассуждения останутся в силе и н случае равенства нулю Ть и &2, т. е. в случае отсутствия в звене линейного трения и восстанавливающей силы. При такой схеме выделения нелинейности условия по уравнениям (2)
Исследование устойчивости проводим методом Гольдфарба. Рассмотрим случай к=1. При изменении со от 0 до 00 вид графика АФХ разомкнутой системы представлен на рис. о, е, где кривая 1 является АФХ для устойчивой линейной модели клапана, когда выполняется условие (10), а кривая 2 является АФХ для неустойчивой линейной модели клапана, когда условие (10) не выполняется. На рис. 5, в нанесен также график импеданса нелинейности (кривая 3), приведенный ранее на рис. 4. Как видно из рис. 5, в, кривые АФХ 1 и 2 никогда не пересекаются с графиком импеданса нелинейности. Следовательно, в системе с клапаном по схеме рис. 5, а не имеется предельных циклов и условие устойчивости линейной модели клапана (10) остается верным и при наличии нечувствительности сухого трения. Таким образом, в этом случае наличие в клапане сухого трения не влияет на устойчивость положения клапана. Отсюда следует неправомочность замены силы сухого трения в клапане силой, пропорциональной скорости движения клапана. В случае клапана по схеме на рис. 5, б (&=—1) вид графика АФХ приведенной линейной части системы представлен кривой 4 на рис. 5, б. В этом случае графики АФХ и импеданса нелинейности всегда имеют одну точку пересечения и, следовательно, в системе
с клапаном по схеме рис. 5, б есть один предельный цикл. Можно убедиться, что в этом случае имеет место неустойчивый предельный цикл и система будет устойчива в «малом» и неустойчива в «большом» [1]. Следовательно, выполняя клапан по схеме на рис. 5, б (при любых значениях параметров клапана), положение его будет устойчивым при достаточно небольших возмущениях, действующих на клапан. Так как на практике в конструкциях регулирующих клапанов современных турбин сила сухого трения достаточно велика, можно считать перспективным применение их по схеме на рис. 5, б.
Выводы
1. На основе структурного преобразования нелинейного звена предложена новая методика учета сухого трения в САР.
2. При подводе пара по схеме, применяемой в отечественном турбостроении, наличие в клапане сухого трения не влияет на устойчивость положения клапана.
3. При обратном подводе пара и наличии сухого трения в клапане положение его будет всегда устойчиво при достаточно небольших возмущениях. Поскольку сила сухого трения в клапане достаточно велика, применение обратного подвода пара является перспективным.