Интерполирование поверхностей лопастей гидромашин с помощью сплайн-функций

Проектирование лопастей гидротурбин сопряжено' с увязкой в пространственной схеме двух взаимно перпендикулярных наборов сечений. В результате получается опорная сеть линий на поверхности, причем в ряде случаев узлы сетки приходится варьировать, чтобы выполнить условия гладкости, отражающие требования гидродинамики. Одной из задач, возникающих в связи с этим при машинном проектировании, является математическое описание поверхности, заданной дискретным набором ее точек.
В последние годы в связи с автоматизацией инженерных работ в машиностроении широкое распространение (получили сплайн-функции, достоинства которых в проблеме формообразования известны [1]. В качестве исходных данных из теоретического чертежа лопасти берут координаты профилей нескольких расчетных цилиндрических или плоских сечений лопасти. Рабочая и нерабочая поверхности лопасти, представляющие собой поверхности Кунза, рассчитываются отдельно. Некоторая сложность возникает с построением криво-.линейной сетки для данных поверхностей.
Учитывая специфику геометрии лопастей (в плане .лопасти имеют форму криволинейного четырехугольника), оказалось удобным применить гомотопические преобразования, описывающие деформацию одной кривой в другую. В качестве примера рассмотрим лопасть поворотно-лопастной гидротурбины. Естественно в качестве одного семейства кривых взять кривые Я=соп51, представляющие собой концентрические окружности с радиусом, изменяющимся от ^ (радиус корневого селения) до Я2 (радиус периферийного сечения). Построение второго семейства кривых не представляло бы тру-.да, если бы входная и выходная кромки были радиальными, т. е. если бы лопасть представляла собой прямоугольник в полярных координатах. Однако реальная .лопасть существенно отличается от такого прямоугольника.
Пусть Фх(Я) и ф2(^) — уравнения, соответственно, .входной и выходной кромок в полярных координатах, которые строятся с помощью процедуры (построение кубического сплайна). В качестве1 второго семейства кривых сетки выберем семейство ф=соп1, где функция - ф(Я, 5)=ф1(^)5+ф2(^)(1—5) (5 — параметр, изменяющийся от 0 до 1) задает гомотопическое •преобразование, описывающее деформацию кривой, задающей входную кромку, в кривую, задающую выходную кромку;            5) — семейство кривых, зависящих от параметра.
Таким образом, получено взаимно однозначное соответствие узлов криволинейной сетки, образованной кривыми ( 5)=сопз1, =сопз1; в области задания -лопасти, и сетки, образованной семействами 5=сопз1и Я=сопз1 на прямоугольнике. Далее по известному алгоритму [2, 3] строится бикубический сплайн для прямоугольника — процедура — и осуществляется интерполирование функции. Затем обратным преобразованием осуществляется переход к обычной сетке (в данном случае к полярной системе). В случае радиально-осевого колеса гомотопия применяется в двух направлениях — от входной кромки к выходной и от сечения у ступицы к сечению у обода.
Краткая характеристика алгоритма. Входной информацией для работы алгоритма являются следующие массивы: массив чисел типа, где Аим — количество интерполяционных узлов; N— количество узлов, в которых требуется найти значение интерполируемой функции; Я[0 : М] — массив радиусов, на которых заданы сечения; Ри /уо : М] — массивы углов точек пересечения радиусов соответственно с входной и выходной кромками; Р[0 : АП — массив углов интерполяционных узлов; массивы абсцисс и ординат, для которых производится интерполирование.
Результатом работы алгоритма является массив значений интерполяционного сплайна в соответствующих массивам Хр и Ур узлах. Указанный алгоритм для различных типов граничных условий реализован на языке Алгол для ЭВМ М-222, а также может быть применен для машин серии ЕС, имеющих транслятор с Алгола.