Метод уравновешивания вращающихся дискретно распределенных масс

Во многих отраслях промышленности возникает задача уравновешивания масс вращающихся частей. Рассмотрим задачу об уравновешивании изолированной рабочей ступени турбомашины, представляющей собой диск, который можно считать полностью уравновешенным, с насаженными на него (с равным угловым шагом) рабочими лопатками. В силу технологических особенностей процесса изготовления массовые параметры лопаток имеют некоторый разброс вблизи соответствующих средних значений. При произвольном размещении лопаток на диске обычно возникает значительный суммарный небаланс, который, как правило, устраняется балансировкой, требующей больших временных затрат и снижающей прочность ступени [1, 2]. В связи с этим представляет интерес попытка добиться достаточной уравновешенности диска путем правильного выбора порядка установки лопаток.
В настоящее время такую балансировку конструкторы турбинных заводов проводят обычно «вручную», затрачивая на развес одной ступени до двух рабочих дней и часто не достигая нужной степени уравновешивания. Известна работа [3], в которой предложен алгоритм решения задачи уравновешивания, основанный на разложении в ряды Фурье. Однако этот метод дает хорошие результаты, если распределение статических моментов отдельных лопаток близко к нормальному. Кроме того, метод эффективен лишь для небольшого числа лопаток (10...20), что характерно для гидротурбин. В случае паровых турбин число лопаток значительно выше (70...200). Попытки распространить метод, приведенный в работе, для балансировки паровых турбин оказались неудачными.
Обратимся к точной постановке задачи. Лопатка со статическим моментом М, которая расположена под углом ср& к оси ху имеет относительно этой оси момент а относительно оси у — момент Мг зт ср&. Поскольку лопатки устанавливаются по ободу диска с равным угловым шагом, то для л лопаток этот шаг равен 2п/л. Лопатка с порядковым номером к( имеет угол относительно оси. Поэтому, если лопатки расположены в порядке, то суммарный небаланс ступени определяется формулой.
Следовательно, значение суммарного небаланса однозначно определяется перестановкой символов К=(к1,к2, .ку).
Рассмотренная постановка задачи не учитывает некоторых особенностей, связанных с изготовлением и испытанием турбин. Если принять эти ограничения во внимание, то функционал Р будет определен не на всем
множестве перестановок, а на некотором его подмножестве Обозначим через П множество различных перестановок К* состоящих из л символов. Необходимо найти такую перестановку Ко, принадлежащую подмножеству П* множества П, для которой выполняется неравенство Р [^о] ^ & [/С], в котором К — произвольная перестановка из подмножества П*, а Р—минимизируемый функционал, заданный соотношением (1). Заметим, что при размещении лопаток без учета технологических ограничений подмножество П* совпадает с множеством П.
Рассмотрим подробнее возникающие ограничения и то, как они отражаются на выборе множества. Пусть при тангенциальной установке лопаток имеется одна замковая лопатка и т—1 пред-замковых. Для определенности положим, что замковая лопатка имеет номер л, а пред-замковые — номера от л—т+1 до п—1. Тогда функционал Р рассматривается только на таких перестановках К— — (кг, к2, ..., кп), которые удовлетворяют следующим условиям: кп~п; набор кх, кг, кп-т представляет собой произвольную перестановку символов 1, 2, п—т; набор кп-т+1, 6п-т+3> представляет собой произвольную перестановку символов л—т+1> п—т+2, ..., л—1.
При наличии двух замковых лопаток они должны располагаться на диаметрально противоположных позициях (в соответствующих ступенях турбин число лопаток всегда четное). Пусть замковые лопатки имеют номера /=л/2 и л, а пред-замковым лопаткам соответствуют натуральные числа от 1 до т. Тогда подмножество П перестановок определяется следующими ограничениями; символы т—1,—1/+1, л—1, соответствуют позициям 1, 2,   I—р,      /+1,                /+2, п—где р=/я/2+1; символы 1, 2, т соответствуют, позициям /—р+1, /—р+2.......... I—1, л—р+1, л—р+2,..., л—1.
Если число лопаток в пакете для испытаний равно т, то перестановки К, на которых определен функционал Р, составляются по следующему правилу: сначала строится перестановка из л—т+1 символов, а затем один из них заменяется произвольной перестановкой из т символов (номеров лопаток, входящих в пакет для испытания).
В случае аксиальной установки при уравновешивании лопаток последних ступеней низкооборотных турбин может возникнуть необходимость в проверке следующего ограничения: различие между статическими моментами двух рядом стоящих лопаток не должно превышать фиксированного числа Л. Это ограничение связано с прочностью конструкций. В этом случае областью определения П* функционала Р являются перестановки для которых принимает значения 1, 2, ..., п, а / определяется по I следующим образом.
С математической точки зрения поставленная задача сводится к минимизации функционала, заданного на множестве перестановок. Несмотря на то, что вычисление функционала (1) на каждой перестановке требует крайне малых затрат машинного времени, просмотр значений функционала на всех перестановках множества П* представляется нереальным даже с учетом быстрого развития вычислительной техники. В связи с этим целесообразно обращение к методу стохастического поиска для решения задачи балансировки. Рассматриваемый функционал (1) является детерминированным и стохастический элемент вводится за счет случайного выбора перестановок, на которых рассматривается функционал. Имеющийся опыт использования метода Монте-Карло (случайного перебора) показал его недостаточную эффективность.
В Институте проблем машиностроения АН УССР разработан способ направленного случайного поиска — метод сужающихся окрестностей, описанный в работе, использование которого позволило получить эффективное решение поставленной задачи балансировки.
Суть метода сводится к следующему. Предполагается, что на множестве перестановок введена метрическая структура и известен вид закона распределения значений минимизируемого функционала при случайном выборе перестановок из некоторого подмножества. Поиск осуществляется в несколько этапов, на каждом из которых формируются перестановки и вычисляются соответствующие значения функционала. По выборке, полученной на данном этапе, оцениваются основные статистические параметры эмпирического закона распределения. На первом этапе перестановки формируются случайным образом по всему множеству. На всех последующих этапах перестановки выбираются из сфер заданных радиусов с центром в лучшей перестановке из просмотренных на предыдущих этапах. Этапы различаются между собой величиной радиуса сферы поиска, которая увеличивается или уменьшается в зависимости от оценки математического ожидания наименьшего значения по последней выборке. Поиск прекращается, когда требуется уменьшить минимально возможный радиус.
Комплекс программ «Баланс-78» для расчета рационального порядка установки лопаток на диске паровых турбин К-500-60/1500 и К-1000-60/1500 с учетом технологических ограничений внедрен в ПО «Харьковский турбинный завод». Время счета на ЭВМ ЕС-1033 для уравновешивания одной ступени не превышает 2 мин. Применение разработанной методики позволило освободить квалифицированных специалистов от ручного труда, выбрать рациональный вариант расстановки лопаток на колесе, улучшить качество выпускаемой продукции, повысить точность уравновешивания отдельных ступеней роторов и таким образом улучшить уравновешенность ротора в целом.