Перед тем, как приступить к рассмотрению других операций обработки металлов давлением, разберем пластически напряженное состояние толстостенной трубы под действием равномерного внутреннего или внешнего давления, поскольку решение этой задачи понадобится при рассмотрении других операций.
Эта задача осесимметричная — напряжения не зависят от координаты 0. Примем, что осевая нагрузка отсутствует, т. е. а2 = 0. Поскольку рассматриваем равномерное давление, напряжения cjp и а0 не зависят также и от координаты z. Вместе с тем эти напряжения будут главными, так как касательные напряжения отсутствуют. Условием равновесия будет служить уравнение
Поскольку значения acp и a0, выраженные через параметр «О» по уравнениям, тождественно удовлетворяют условию пластичности, постольку подстановка значений ар и а0 из уравнения обращает в тождество и условие при любых значениях параметра Ф. Условие пластичности, выраженное формулами, графически представляется контуром пластичности в виде эллипса, следовательно, и система уравнений определяет тот же эллипс. На рис. 7.18 около соответствующих точек эллипса проставлены значения угла отвечающие соответствующим значениям ар и сг0 по уравнению. Подставим значения «о0» и «ав» из уравнения в уравнение равновесия. которые необходимы для того, чтобы она находилась в пластическом состоянии. Обозначая внутреннее давление через «р» и считая его положительным.
Какие значения ft следует брать, видно из рис. 7.18. Так как напряжение ар может быть только отрицательным, то от точки а надо переходить в сторону увеличения абсолютной величины отрицательных значений ft. Вторым крайним значением ft будет—g-я, когда. При дальнейшем увеличении абсолютного значения угла ft величина напряжения ор [по уравнению (7.40а)] будет падать, что не имеет физического смысла, так как невозможно, чтобы при дальнейшем увеличении толщины стенки требовалось меньшее давление для перевода трубы в пластическое состояние. Таким образом, при — > 2,963 трубу уже нельзя перевести по всей толщине в пластическое состояние. Пластическая зона окружена упругой. Следовательно, пластическому состоянию трубы под внутренним давлением соответствует участок эллипса от точки а заштрихован. Вычисленные значения R/r, ор и ае в функции угла ft представлены на рис. 7.19. Имея эти значения, легко построить график напряжений ар =р. в функции R/r.
Труба со стержнем под внешним давлением Рассмотрим второй вариант. Пусть внутрь трубы с внутренним радиусом вставлен жесткий стержень (оправка) того же радиуса. Примем, что трение на поверхности контакта трубы и стержня отсутствует. Снаружи нагрузим трубу равномерным давлением. Спрашивается, какую величину должно иметь это давление, чтобы труба по всей толщине находилась в пластическом состоянии.
Очевидно, что на внутренней поверхности, т. е. при р = г, радиальное перемещение ир отсутствует. Следовательно, тангенциальная деформация ее = ир/р = 0 [см. уравнения (4.4)1. А это значит, что внутренняя поверхность трубы будет находиться не только в плоском напряженном, но и в плоском деформированном состоянии, причем напряжение а0 будет средним.