Возьмем призму высотой А, имеющую в основании правильный многоугольник с числом сторон п и диаметром вписанной в основание окружности d. Плоскостями, проходящими через ось призмы и ее ребра, разделим объем призмы на п частей [96]. В соответствии с принципом наименьшего сопротивления (см. стр. 166) эти плоскости примем за плоскости раздела течения. Ось z совместим с осью призмы, а оси х и у направим, как показано на рис. 7.9. Так как все «п» частей, на которые разделена призма, одинаковы и оси х, у можно расположить, как показано на рис. 7.9, в любой из этих частей, то рассмотрим распределение напряжений лишь в одной такой части «Oab». Предварительно сделаем одно допущение: примем, что в каждый данный момент при незначительной деформации форма поперечного сечения не изменяется и треугольник «Oab» остается треугольником.
Отсюда вытекают такие следствия. Из уравнения (в) явствует, что при сделанном допущении а^, а следовательно, и ох = оу не зависят от координаты у. Напряжения о2 и хХ2 будем считать также независимыми от этой координаты.
Поскольку система дифференциальных уравнений (а) и (в) аналогична системе (3.50), примененной для плоской задачи, за приближенное уравнение равновесия можно принять уравнение.
Решения его, выражающие напряжение аг в зависимости от координаты х, будут те же самые, что и для плоской задачи, с той лишь разницей, что постоянную о. необходимо заменить на as, а размер а на размер.
Для определения деформирующего усилия интегрирование будем проводить в зависимости от варианта распределения напряжений по участкам площади треугольника «Oab» с умножением результата на число этих треугольников, т. е. на число сторон призмы п. Дифференциал площади dF в этом случае (рис. 7.9). Формулы (7.22) — (7.27) являются общими и для правильных призм, и для цилиндра, так как при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, являющегося основанием призмы, последняя переходит в цилиндр. Поскольку же поперечные сечения любой призмы в процессе ее осадки стремятся принять форму круга (см. стр. 167), постольку выведенные формулы следует считать пригодными и для промежуточных переходных форм поперечных сечений, образующихся в процессе осадки. Формулы (7.22), (7.24), (7.25) и (7.26) для случая осадки цилиндрической поковки вывел Е. П. Унксов. Он также провел обширные экспериментальные исследования, подтверждающие их правильность [108, 10911. Формулы (7.22) и (7.25) достаточно сложны для вычислений. Поэтому следует рекомендовать пользоваться на практике графиками. График на рис. 7.10, как и график на рис. 7.8, показывает, что интенсивность влияния роста коэффициента трения на удельное усилие уменьшается при увеличении его значений. Кривые для \i > 0,25 весьма близки к кривой для \х = 0,5. Это дает возможность рассчитывать удельное усилие при горячей осадке, когда коэффициент трения большой, по приближенной формуле (7.24)
Для расчета удельного усилия при осадке с применением смазки можно воспользоваться ранее полученной формулой (6.43), которая приведена вторично на стр. 256, положив в ней тк=[лsas:
где так же как и в формуле (7.176), фактор трения (стр. 165). Эта формула широко известна под наименованием формулы Э. Зибеля [28].
Все приведенные выше формулы, пригодные для определения удельных усилий осадки правильной призмы и круглого цилиндра, можно получить на базе рассмотрения осадки цилиндра, используя условия равновесия в цилиндрических координатах. Приняв условие пластичности в форме имеем т. е. уравнение, аналогичное уравнению (7.3) на стр. 237, на основе которого были получены все формулы, относящиеся к осадке правильной призмы и круглого цилиндра.