Пластическая деформация
Строение металлов
Холодная пластическая деформация монокристалла
Элементы теории дислокаций
Движение дислокации и пере ползание дислокации
Вектор Бюргерса
Возникновение и размножение дислокаций
Силовые поля
Холодная пластическая деформация поликристалла
Равенство деформаций
Упрочнение при холодной деформации
Кривые упрочнения
Влияние температуры и скорости деформации
Виды деформации при обработке металлов давлением
Влияние температуры на сопротивление деформированию
Влияние горячей деформации на свойства металла
Условие постоянства объема
Степень деформации и смещенный объем
Влияние скорости деформации на пластичность
Сверх пластичность
Напряжения
Напряжения в координатных площадях
Напряжения в наклонной площадке
Понятие о тензоре напряжений
Главные касательные напряжения
Диаграмма напряжений Мора
Условия равновесия для объемного напряженного состояния
Осесимметричное напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Малые деформации и скорость деформаций
Неразрывность деформаций
Однородная деформация
Условие пластичности
Смысл энергетического условия пластичности
Связь между напряжениями и деформациями
Механическая схема деформации
Схемы главных напряжений
Принцип подобия
Контактное трение
Характер нагрузки
Принцип наименьшего сопротивления
Неравномерность деформаций
Методы определения деформирующих усилий
Решение дифференциальных уравнений
Основы метода расчета деформирующих усилий
Метод линий скольжения
Свойства линий скольжения
Характеристики
Методы графического построения
Жесткопластическая схема
Связь полей линий скольжения с полями скоростей
Построение годографа скоростей
Понятие о методе верхней оценки
Метод сопротивления материалов
Метод баланса работ
Понятие о пластическом методе
Краткое сопоставление различных методов
Осадка
Удельное усилие
Осадка правильной призмы и цилиндра
Осадка полосы конечной длины
Неоднородность деформации при осадке
Толстостенная труба под равномерным давлением
Протяжка
Протяжка заготовки круглого сечения
Выдавливание
Удельное усилие деформирования
Объемная штамповка в открытых штампах
Удельное усилие деформирования заусенца
Элементы штамповки в закрытых штампах
Скручивание
Уравнения равновесия
Дальнейшее увеличение кривизны
Вытяжка

Характеристики

Исключим из уравнений переменную, для чего первое уравнение продифференцируем по «z», второе по «х» и вычтем одно из другого: откуда, заменяя знаки производных, окончательно получим систему. Линии скольжения из этих уравнений определяются в параметрическом виде х = f:fp§ г]) и z = /2(|, Ч). Если решить уравнения характеристик, то станут известны линии скольжения и можно будет вычислить напряжения. Однако получение решений в замкнутой форме оказывается возможным в отдельных случаях. В общем случае применяют численное интегрирование уравнений характеристик, при котором вместо отыскания общего решения определяют искомые функции в конечном числе узловых точек сетки характеристик. Виды полей линий скольжения Простейшее поле линий скольжения представляет собой си стему двух ортогональных семейств прямых линий . Поскольку углы поворота линий скольжения каждого семейства в этом случае равны нулю, среднее напряжение <тср остается постоянным в любой точке поля в соответствии с уравнением (6.18). Следовательно, такое поле выражает однородное (равномерное) напряженное состояние, при котором параметры | и ц также постоянны. Среднее напряжение оср — единственная неизвестная величина, которую надо определить из граничных условий. У прямолинейной свободной границы или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой полем линий скольжен ия всегда является сетка ортогональных прямых, образующих углы 450 с границей (рис. 6.13, а).
 В другой группе полей линий скольжения одн о семей ство линий скольжения состоит из прямых линий, а другое — из кривых, к ним ортогональных . Такие поля называют простыми. В этом случае при перемещении вдоль каждой из прямых линий скольжения среднее напряжение аср остается постоянным, но изменяется при переходе от одной к другой прямой линии скольжения. При этом если кривые линии скольжения считать принадлежащими к семейству а, то параметр I будет постоянным. Частным случаем рассматриваемой группы полей скольжения является центрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическими окружностями. Нормальные напряжения по радиальным и окружным (тангенциальным) площадкам равны среднему давлению оср = 2k (—со + г\) и являются линейными функциями угла наклона прямой (рис. 6.13, в). Центр такого поля О называют особой точкой. Поскольку в особой точке сходятся прямые линии скольжения, вдоль каждой из которых средние напряжения оср различны по величине, постольку  в особой точке напряжения теоретически не имеют единственного значения. Однако формально условия равновесия и пластичности удовлетворяются и в этой точке.
 Учитывая сказанное о полях линий скольжения указанных видов, можно утверждать, что в области, примыкающей к области равномерного, напряженного состояния, поле линий скольжения возможно только простое, т. е. в котором одно из семейств состоит из прямых (6.13, г). Наконец, к общему случаю относятся поля линий скольжения, образованные двумя ортогональными семействами плавных кривых линий. Сюда относятся, например, взаимно ортогональные циклоиды, логарифмические спирали и другие более сложные кривые. В таких полях, в частности, кривые одного семейства могут пересекаться в одной точке (рис. 6.13, д), которая поэтому будет являться особой.
 Следует отметить, что поле линий скольжения у свободной или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой круговой границы представляет собой ортогональную сетку логарифмических спиралей.
 Учитывая это положение и сказанное на стр. 196 относительно прямолинейной границы, можно сделать такое обобщающее заключение: поле линий скольжения у границы, свободной от усилий (или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой), определяется  только формой самой границы.
 При решении практических задач редко бывает возможно построить поле линий скольжения одного и того же вида по всей деформируемой зоне. Обычно необходимо комбинировать поля линий скольжения, соответствующие решениям, справедливым для различных областей, при условии, чтобы границами различных областей являлись линии скольжения, общие для смежных полей, и компоненты напряжений поперек (по нормалям) границ были непрерывны.
 Построение полей линий скольжения Построение полей линий скольжения в общем случае является задачей достаточно сложной, и отыскание решения требует опытности и интуиции [124].
 В любом случае должны быть заданы граничные условия, обычно в виде соотношений между нормальными и касательными напряжениями.
Решение какой-либо задачи, полученное методом линий скольжения, не является, однако, единственным, и возможны другие решения, справедливые для заданных граничных условий. Поэтому необходима их последующая проверка на единственность и корректность [46, 106].
 Как уже было сказано ранее, для построения полей линий скольжения можно применить аналитическое интегрирование уравнений плоской деформации, пользуясь теми или иными методами, обычно приближенными. Однако этот путь представляет часто значительные математические трудности и не распространен в теории обработки металлов давлением.
 Иногда представляется возможным строить поле линий скольжения без решения уравнений на базе анализа условий задачи и использования геометрических свойств линий скольжения. В некоторых простейших случаях бывает возможно получать элементарным путем замкнутые аналитические решения. Наконец, теория линий скольжения позволяет строить поля линий скольжения графическими методами. В некоторых случаях для линий скольжения возможно построить по координатам узловых точек, вычисленным аналитически я приведенным в литературе [106, 1131. Все это будет иллюстрировано далее.
 Рассмотрим построение поля линий скольжения для плоского кольца (рис. 6.14), нагруженного по внутреннему контуру равномерно распределенной растягивающей нагрузкой р. Деформация принимается плоской в направлении оси z (т. е. толщины кольца). Определим величину р, при которой все кольцо находится в состоянии пластической деформации.
 Поскольку касательных напряжений на внутреннем контуре нет, напряжения ар (т. е. направленные радиально) являются главными нормальными. Следовательно, напряжения а0, направленные тангенциально, также будут главными нормальными. Поэтому траектории главных напряжений представляют собой сетку окружностей и ортогональных к ним радиусов (рис. 6.14, правая сторона) . Линии скольжения наклонены к траекториям главных напряжений под углом 45°, т.е. каждая линия скольжения с любым радиусом, который она пересекает, образует угол 45° Рис. 6.14 (то же и с любой окружностью, поскольку последняя ортогональна радиусам).
 Из теории кривых известно, что кривая, пересекающая все лучи, выходящие из одной точки О под одним и тем же углом а, есть логарифмическая спираль. Следовательно, в рассматриваемой задаче линии скольжения являются логарифмическими спиралями. Уравнение логарифмической спирали. Откладывая (начиная с точки а) 0 и р от оси р против часовой стрелки, получим линию одного семейства а; откладывая 0 и р по часовой стрелке, получим линию другого семейства р (рис. 6.14). Аналогично можно получить любое количество других пар линий скольжения. Слева на рисунке представлен участок поля линий скольжения. Легко доказать, что это поле удовлетворяет требованию ортогональности и постоянству угла между касательными. Так как построенные линии скольжения наклонены к радиусам под постоянным углом 45°, то угол поворота их равен углу поворота радиуса от одной точки пересечения с данной линией скольжения до другой.
 Из уравнения кривой следует. Напряжения ар и а0 здесь являются главными. Условиями пластичности служит уравнение  подставляя это уравнение в уравнение равновесия, решаем последнее; определяем постоянную интегрирования из условия, что р = R, напряжение ар = 0. В результате получим
 При р = г напряжение ар = р, следовательно. Таким образом, мы получили тот же результат, что и при решении данной задачи методом линий скольжения.
 Рассмотрим теперь построение поля линий скольжения для начала внедрения плоского пуансона в пластическое полупространство при отсутствии контактного трения.
Так как принято, что контактное трение отсутствует, то линии скольжения должны подходить к рабочей поверхности пуансона ab под углом 45° (см. стр. 196), и участок поля линий скольжения, примыкающий к ней, представляет однородное напряженное состояние (сетка двух ортогональных семейств прямых линий). Проводим линии скольжения ас и be, ограничивающие этот участок (рис. 6.15). Справа и слева от пуансона распространяется свободная поверхность, на которую линии скольжения также должны выходить под углом 45°. Проведем под этим углом из точек а и b направления линий скольжения аа! и bb'. Точки а и b будут особыми. Проведя из этих точек окружности радиусами ас = be, получим границы центрированных полей, которые могут соединять области однородного напряженного состояния. Наконец, проведя под углом 45° к свободной поверхности прямые dd' и ее'9 получим границу всего поля линий скольжения для данного случая. Для наглядности внутри полученных областей проводим также соответствующие этим областям линии скольженческое полупространство. Р. Хилл предложил вариант, представленный на рис. 6.16. Величина удельного усилия вдавливания, определенная на основании поля Р. Хилла, будет та же, что и при пользовании полем J1. Прандтля, поскольку величина угла соАБ остается в обоих случаях одна и та же.
 Элементарными приемами, использованными при решении рассмотренной задачи, можно решить и задачи построения полей линий скольжения при осадке усеченного клина (рис. 6.17), при вдавливании в полупространство закругленного пуансона (рис. 6.18) и многие другие.




 
Яндекс.Метрика