Касательные напряжения в наклонных площадках, если тензор напряжений дан в главных компонентах, выражаются уравнением
Далее из условия сц + ач + Яз = 1 выражаем 02 и аи подставляем их значения в формулу и производим аналогичные выкладки.
В результате получим следующие шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения:
Первые три группы значений направляющих косинусов определяют координатные плоскости, которые при рассмотрении данного вопроса приняты за главные и в которых касательные напряжения равны нулю. Следовательно, вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений (абсолютных), поскольку нахождение экстремальных значений проводилось для т2 по уравнению.
Легко видеть, что каждая из этих групп значений выражает плоскости, параллельные одной из координатных плоскостей и составляющие углы 45° с каждой из двух других, или, что то же самое, плоскости, проходящие через одну координатную ось и делящие угол между двумя другими пополам. Таким образом, всего получим три пары (а, бив ) взаимно перпендикулярных площадок, в которых касательные напряжения достигают максимальных абсолютных значений. Из шести этих площадок и шести им параллельных можно составить фигуру ромбического додекаэдра (двенадцатигранника) согласно наибольшего и наименьшего главных нормальных напряжений. ЕСЛИ все три главные нормальные напряжения равны между собой, то их полу разности и, следовательно, все касательные напряжения обращаются в нуль, т. е. отсутствуют. Этот результат мы получили и раньше при рассмотрении эллипсоида напряжений и шарового тензора (3.19). Направления главных касательных напряжений на площадках их действия параллельны той главной координатной плоскости, к которой данная площадка является нормальной (см.рис. 3.3). Вместе с тем направления главных касательных напряжений (на рис. 3.4 показаны стрелками) образуют ребра правильного октаэдра с вершинами ABC на главных осях. Как видно из уравнения (3.20), сумма трех главных касательных напряжений равна нулю. Из этого уравнения следует, что знак наибольшего по абсолютной величине главного касательного напряжения противоположен знаку двух других. Это условие необходимо соблюдать при назначении знаков главных касательных напряжений в каждой конкретной задаче. На гранях додекаэдра (см. рис. 3.4), пересекающихся в точке D, т. е. в точке, расположенной в первом октанте, направления, по которым главные касательные напряжения положительны, указаны стрелками. Определим значение нормальных напряжений в площадках, по которым действуют главные касательные напряжения, для чего подставляем значения направляющих косинусов в уравнение. т. е. нормальные напряжения, действующие в площадках главных касательных, равны полу суммам главных нормальных напряжений.
Из выражений главных касательных напряжений также видно, что при увеличении или уменьшении главных нормальных напряжений на одну и ту же величину значения главных касательных напряжений не изменятся, т. е. добавление к напряженному состоянию равномерного растяжения или сжатия не изменяет величины касательных напряжений. Это дает возможность всегда представить тензор напряжений в виде суммы двух тензоров.
Обозначим среднее нормальное напряжение через аср, тогда Тензор D0 называется девиатором напряжений. Таким образом, в общем случае тензор напряженного состояния определяется суммой шарового тензора и девиатора напряжений. Легко видеть, что сумма компонент девиатора напряжений по главной диагонали равна нулю: Как уже было сказано, напряженное состояние, определяемое шаровым тензором, представляет собой всестороннее равномерное сжатие (о отрицательно) или всестороннее равномерное растяжение. Такое напряженное состояние не может вызвать изменения формы тела — возможно лишь изменение объема (при упругой деформации) и разрушение. Если же напряженное состояние, в котором находится какое-либо тело, определяется девиатором, то тело изменяет форму без изменения объема даже при упругом деформировании.
Разложение тензора напряжений на два — шаровой и девиатор — представляет прежде всего математическую операцию, которой не следует придавать безоговорочно физического смысла, т. е. например, считать, что тело находится под одновременным или последовательным действием двух независимых систем напряжений, эффекты которых складываются.
Вопрос о физическом смысле тензорных представлений в теории напряженного состояния подробно рассматривал И. М. Павлов.
Октаэдрическое касательное напряжение близко по величине к наибольшему касательному напряжению для той же точки "и находится в пределах 0,941 > т0 >0,816.
Касательное напряжение, выражаемое уравнениями (3.30), принимая интерпретацию М. Роша и А. Эйхингера, называют также интенсивностью касательных напряжени й [33]. Другие авторы интенсивность касательных напряжений Щ, согласно Г. Генки, определяют выражением отличающимся от уравнения (3.30) постоянным коэффициентом. Квадрат правой части этого выражения в точности равен второму инварианту девиатора напряжений, взятому с обратным знаком. В отличие от октаэдрического касательного напряжения по равенству (3.30) интенсивность касательных напряжений по уравнению (З.ЗОг) является величиной скалярной.
Величина интенсивности касательных напряжений т/ изменяется в зависимости от вида напряженного состояния (соотношений между компонентами тензора напряжений) в пределах
где ттах — максимальное по абсолютной величине главное касательное напряжение.
От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщенное напряжение, которое в главных напряжениях выражается
Величина о, так же, как и т, по формуле, представляет собой величину скалярную. Величина интенсивности напряжений а, в зависимости от вида напряженного состояния изменяется в пределах
где соответственно алгебраически максимальное и минимальное главное нормальное напряжение. Легко определить, что для линейного напряженного состояния (линейного растяжения или сжатия), когда два из трех глав
Применяют также термин «эффективное напряжение». Напряжения равны нулю, интенсивность напряжений по величине совпадает с главным нормальным напряжением, растягивающим или сжимающим.
На основании ранее сказанного о напряженном состоянии точки можно отметить следующие характерные площадки, проходящие через нее: три главные площадки, на которые действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют; 1' б) шесть площадок, по которым действуют главные касательные напряжения; в) четыре площадки действия одинаковых по величине октаэдрических напряжений. Таким образом, всего есть 13 характерных площадок.
