Плоское напряженное и плоское деформированное состояние («плоская задача»)

 Плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями.
 1. Все компоненты напряжений не зависят от одной из координат, общей для всех компонент, и остаются постоянными при ее изменении.
 2. В плоскостях, нормальных к оси этой координаты:  а) компоненты касательных напряжений равны нулю; б) нормальное напряжение или равно нулю (плоское напряженное состояние), или равно полу сумме двух других нормальных напряжений (плоское деформированное состояние).
 Примем за ось, о которой говорилось ранее, ось у. Из предыдущего ясно, что эта ось будет главной, т. е. ее можно обозначить также и индексом 2. При этом оХ9 и хХ2 = х2Х не зависят от вместе с тем, а следовательно, и равны нулю. Для плоского напряженного состояния у = 0. Для плоского  деформированного состояния (эта особенность  плоского деформированного состояния будет доказана далее, на стр. 141). Следует всегда учитывать существенную разницу между плоским напряженным и плоским деформированным состояниями. В первом, в направлении третьей оси, нет нормального напряжения, но есть деформация, во втором есть нормальное напряжение, но нет деформации. Плоское напряженное состояние может быть, например, в пластине, подверженной действию сил, приложенных к ее контуру параллельно плоскости пластины и распределенных равномерно по ее толщине. Изменение толщины пластины в этом случае не имеет значения, и толщина ее может быть принята за единицу. Плоским с достаточной точностью можно считать напряженное состояние фланца при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала.
 Плоское деформированное состояние может быть принято для участков цилиндрического 1 или призматического тела большой длины, отдаленных от его концов, если тело нагружено силами, не меняющимися по его длине и направленными перпендикулярно образующим. В плоском деформированном состоянии, например, можно считать брус, подвергающийся осадке в направлении его толщины, когда деформацией по длине можно пренебречь.
 Все уравнения напряженного состояния для плоской задачи значительно упрощаются и сокращается количество переменных.
 Уравнения для плоской задачи можно легко получить из выведенных ранее для объемного напряженного состояния, учитывая, что принимая ау = 0, поскольку следует рассматривать наклонные площадки только параллельные оси у, т. е. нормальные к площадкам, свободным от напряжений при плоском напряженном состоянии или свободным от деформаций при плоском деформированном состоянии.
 В рассматриваемом случае. Таким образом, зная положение наклонной площадки, определяемое углом а, можно найти значения напряжений ан и т, действующих в этой площадке.
 Так как то отрезок ОР выражает полное напряжение S. Если элемент напряженного тела, в наклонной грани которого рассматривают напряжения, вычертить так, чтобы главное напряжение о1 было направлено параллельно оси аи, то нормаль N, проведенная к этой наклонной грани, а следовательно, и направление напряжения ан будут параллельны отрезку СР.
 Продолжив линию Р02 до пересечения с окружностью, в точке Р' получим вторую пару значений а» и т' для другой наклонной площадки, у которой а = а + 90°, т. е. для площадки, перпендикулярной к первой, с направлением нормали N'. Направления нормалей N и N' можно принять соответственно за направления новых осей х и z, а напряжения с и о — соответственно за координатные напряжения ох и о2. Таким образом, можно определить напряженное состояние в произвольных осях без использования формул (3.44)—(3.46). Абсолютные величины напряжений т и т' равны между собой по закону парности.
 Нетрудно решить и обратную задачу: по заданным напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках ох, т и а2, т' (где т' = т) найти главные напряжения.
 Проводим координатные оси он ит (рис. 3.19). Наносим точки Р и Р' с координатами, соответствующими заданным напряжениям ох, т и о2, т. Пересечение отрезка РР' с осью ан определит центр круга Мора 02 с диаметром РР' = 2т31. Далее, если построить оси N, N' (или, что то же, х, г) и повернуть фигуру так, чтобы направления этих осей были параллельны направлениям напряжений ох и о2 в рассматриваемой точке данного тела, то направления осей ан и т диаграммы будут параллельны направлению главных осей 1 и 2.
 Дифференциальное уравнение равновесия для плоской задачи получим из уравнений (3.38), учитывая, что все производные по у равны нулю, а также равны нулю тух и хуг.
 При решении некоторых задач, относящихся к плоским, иногда бывает удобно пользоваться вместо прямоугольных координат полярными, определяя положение точки радиусом-вектором р и полярным углом 6, т. е. углом, который составляет радиус-вектор с осью р. Условия равновесия в полярных координатах легко получить из тех же условий в цилиндрических координатах, приравняв. Частным случаем плоской задачи является такой, когда напряжения не зависят также и от координаты 0 (симметричное относительно оси распределение напряжений). В этом случае обратятся в нуль производные по 0 и напряжения тр0 и т0р, а условия равновесия определятся одним дифференциальным уравнением.
 Ясно, что напряжения стр и <т0 здесь являются главными.
 Такое напряженное состояние можно принять для фланца круглой заготовки при вытяжке без прижима цилиндрического стакана.