Ранее было установлено, что напряженное состояние точки выражается поверхностью (3.7). Это значит, что напряженное состояние есть величина тензорная в отличие от скалярной (определяемой числом) и векторной (определяемой числом и направлением). Эта поверхность, а вместе с ней и напряженное состояние определяются девятью напряжениями в .координатных площадках. Поэтому можно дать особый смысл матрице (ЗЛ), которой были представлены эти напряжения, а именно записать
Правая часть равенства представляет собой о точки зрения тензорного анализа симметричный тензор 2-го ранга. Эту запись можно понимать так: напряженное состояние на данной точки равно тензору напряжений с такими-то компонентами (а и т являются компонентами тензора напряжений). Так как Касательные напряжения попарно равны между собой и равные касательные напряжения располагаются в матрице симметрично относительно главной диагонали, то возможна сокращенная запись
С тензором можно производить различные математические действия, изучаемые в тензорном анализе, в частности тензоры можно вычитать и складывать, с чем мы встретимся дальше.
Выясним теперь, можно ли определить величину главных напряжений и положение главных плоскостей по тензору напряжений, данному в произвольных координатных осях.
Пусть в какой-то, пока неизвестной, наклонной площадке действует только нормальное напряжение о, т. е. эта площадка является главной. Пусть положение этой площадки определяется направляющими косинусами по отношению к взятой системе координат. Тогда компоненты напряжения о по координатным осям будут, так как направление о совпадает с нормалью к площадке и для каждого данного напряженного состояния являются постоянными. Уравнение (3.18) является уравнением трехосного эллипсоида, полуоси которого представляют собой главные напряжения в данной точке, а координаты точек поверхности— проекции полного напряжения S для различных наклонных площадок. Следовательно, длина любого отрезка от центра до пересечения с поверхностью эллипсоида (радиуса-вектора) представляет собой полное напряжение 5 в какой-то наклонной площадке. Эллипсоид этот называется эллипсоидом напряжений (эллипсоидом Ламе) и как бы отражает геометрически тензор напряжений.
Поскольку длина радиусов-векторов эллипсоида ограничена длиной его большой полуоси с одной стороны и малой — с другой, постольку полные напряжения 5 в различных площадках данной точки по абсолютной величине всегда меньше наибольшего (по абсолютной величине) главного напряжения и больше наименьшего. Если два из трех главных нормальных напряжений равны между собой по абсолютной величине, то эллипсоид напряжений превращается в эллипсоид вращения. Если все три главных нормальных напряжения равны между собой и одинаковы по знаку, то эллипсоид обращается в шар и любые три взаимно перпендикулярные оси становятся главными. В этом случае во всех наклонных к осям координат площадках действуют одинаковые равные между собой нормальные напряжения, а касательные отсутствуют, поскольку любая плоскость — главная. Иначе говоря, точка находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения или сжатия. Тензор напряжений будет этот тензор напряжений носит название шарового тензора. Он инвариантен к выбору системы координат. Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид превращается в эллипс и объемное напряженное состояние превращается в плоское. Наконец, если два главных напряжения равны нулю, эллипсоид превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию.