Геометрический смысл энергетического условия пластичности
Если в условии пластичности, отображенном в уравнении (5.3) рассматривать напряжения ах, а2 и а3 как текущие координаты, то уравнение (5.3) представит собой поверхность неограниченного по длине круглого цилиндра с радиусом г = ВЙЕ os, ось которого проходит через начало координат и одинаково наклонена к осям координат, т. е. составляет с каждой из них угол, косинус которого равен. Если главные нормальные напряжения в каком-либо элементе тела таковы, что они определяют точку, лежащую на поверхности цилиндра, то этот элемент будет в пластическом состоянии. Таким образом, поверхность согласно уравнению (5.3) является «предельно й поверхностью пластической деформации» по энергетическому условию пластичности. Графически этот цилиндр представлен на рис. 5.2.
Если главные нормальные напряжения в элементе тела таковы, что они определяют точку, лежащую внутри цилиндра, то элемент будет находиться в упругом напряженном состоянии. Комбинации же напряжений, определяющие точки вне поверхности цилиндра, не имеют физического смысла. Понятно, что существует неограниченное число комбинаций величин главных нормальных напряжений, удовлетворяющих уравнению (5.3), поскольку число точек на поверхности цилиндра бесконечно большое. Чем больше напряжение текучести cs, тем больше и радиус цилиндра г. Если деформация сопровождается упрочнением, то os увеличивается и, следовательно, предельная поверхность пластической деформации расширяется. Окружности на поверхности цилиндра (например, а), полученные пересечением его плоскостями, перпендикулярными к его оси, представляют собой геометрические места точек, определяющих предельные напряженные состояния, для которых сумма главных нормальных напряжений постоянна г, т. е. напряженные состояния с одинаковым шаровым тензором (гидростатическим давлением). В частности, для круга Щ образованного пересечением цилиндра плоскостью, проходящей через начало координат О, эта сумма равна нулю (т. е. напряженное состояние является чисто девиаторным). Образующи е цилиндра (например, с) являются геометрическими местами точек, для которых постоянны разности трех главных напряжений, т. е. определяют напряженные состояния с одинаковым девиатором.
Возьмем сечение поверхности, выраженной уравнением (5.3), координатной плоскостью а3 = 0; тогда, подставляя а3 = 0 в уравнение (5.3), получим. Сечениями каждой из двух других координатных плоскостей ((У2 = о и ох = 0) соответственно являются. Уравнения (5.9) определяют совершенно одинаковые эллипсы с центрами в начале координат и осями, наклоненными под углом 459 к соответствующим осям координат.
Элементарными приемами аналитической геометрии можно определить координаты всех характерных точек эллипса и его полуосей. Ясно, что малая полуось эллипса равна по величине радиусу цилиндра, т. е.
Уравнения (5.9) получены подстановкой в условие пластичности (5.3) а3|2 ,1 = 0. А при одном из главных напряжений, равном нулю, напряженное состояние будет плоским. Значит, уравнения являются условием пластичности для плоского напряженного достояния, а эллипс, определяемый уравнениями (5.9), — пре дельным контуром пластичности для плоского напряженного состояния. Так как координатные оси равноправны, то безразлично, каким индексом (1, 2 или 3) обозначить главное нормальное напряжение, равное нулю. Поэтому, как и раньше, считаем а2 == 0. Из рис. 5.3 следует, что при плоском напряженном состоянии ни одно из главных напряжений (при пластическом состоянии) не может превысить величины. Контуром же пластичности для плоского напряженного состояния будет шестиугольник (см. рис. 5.3). Если для плоского деформированного состояния подставить в какое-либо из уравнений (5.22), например в третье, значения главных нормальных напряжений из уравнения (3.43), то получим условие пластичности по принципу постоянства главных касательных напряжений для любых осей Сравнивая уравнения (5.22) и (5.23) соответственно с уравнениями (5.13) и (5.12), легко обнаружить, что условие постоянства главных касательных напряжений и условие постоянства интенсивности касательных напряжений отличаются для плоского деформированного состояния только постоянными правых частях уравнений.