Пластическая деформация
Строение металлов
Холодная пластическая деформация монокристалла
Элементы теории дислокаций
Движение дислокации и пере ползание дислокации
Вектор Бюргерса
Возникновение и размножение дислокаций
Силовые поля
Холодная пластическая деформация поликристалла
Равенство деформаций
Упрочнение при холодной деформации
Кривые упрочнения
Влияние температуры и скорости деформации
Виды деформации при обработке металлов давлением
Влияние температуры на сопротивление деформированию
Влияние горячей деформации на свойства металла
Условие постоянства объема
Степень деформации и смещенный объем
Влияние скорости деформации на пластичность
Сверх пластичность
Напряжения
Напряжения в координатных площадях
Напряжения в наклонной площадке
Понятие о тензоре напряжений
Главные касательные напряжения
Диаграмма напряжений Мора
Условия равновесия для объемного напряженного состояния
Осесимметричное напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Малые деформации и скорость деформаций
Неразрывность деформаций
Однородная деформация
Условие пластичности
Смысл энергетического условия пластичности
Связь между напряжениями и деформациями
Механическая схема деформации
Схемы главных напряжений
Принцип подобия
Контактное трение
Характер нагрузки
Принцип наименьшего сопротивления
Неравномерность деформаций
Методы определения деформирующих усилий
Решение дифференциальных уравнений
Основы метода расчета деформирующих усилий
Метод линий скольжения
Свойства линий скольжения
Характеристики
Методы графического построения
Жесткопластическая схема
Связь полей линий скольжения с полями скоростей
Построение годографа скоростей
Понятие о методе верхней оценки
Метод сопротивления материалов
Метод баланса работ
Понятие о пластическом методе
Краткое сопоставление различных методов
Осадка
Удельное усилие
Осадка правильной призмы и цилиндра
Осадка полосы конечной длины
Неоднородность деформации при осадке
Толстостенная труба под равномерным давлением
Протяжка
Протяжка заготовки круглого сечения
Выдавливание
Удельное усилие деформирования
Объемная штамповка в открытых штампах
Удельное усилие деформирования заусенца
Элементы штамповки в закрытых штампах
Скручивание
Уравнения равновесия
Дальнейшее увеличение кривизны
Вытяжка

Метод линий скольжения

Основные понятия о линиях скольжения Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач, сущность которого будет изложена в этом параграфе, ведет свое начало от работ М. Леви (1871 г.), Г. Генки и Л. Прандтля (20-е годы) [1031. Дальнейшее развитие он получил в работах советских ученых А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, С. Г. Михлина, В. В. Соколовского, С. А. Христиановича и др., а также ряда иностранных ученых, как, например, Г. Гейрингер, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф. Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А. Д. Томленов, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофман, а также Е. М. Макушок, И. П. Ренне и др. Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств. Возьмем на плоскости xz в теле, находящемся в плоском деформированном состоянии, какую-нибудь точку ах (рис. 6.5) и отложим от нее вектор тх главного касательного напряжения. Перейдем в направлении этого вектора к точке а2> весьма близко отстоящей от точки аг. От точки а2 отложим вектор т2 главного касательного напряжения на этой точке. Вектор т2 в общем случае будет отличаться от вектора тх как по направлению, так и по величине. Поступая таким же образом дальше, мы получим в результате ломаную линию ахагаъа±аьаь и т. д.
Так как от взятой точки аг вследствие парности касательных напряжений можно отложить второй вектор т, перпендикулярный к ранее отложенному, то аналогичным способом от точки аг можно построить вторую ломаную линию aiayafciflsQe и т. д. В точке линии пересекаются под прямым углом. Понятно, что эти линии можно продолжить и по другую сторону от точки аг.
При неограниченном увеличении числа точек а и точек а' ломаные линии превратятся в плавные кривые, представляющие собой траектории главных касательных напряжений или линий скольжения.
Из каждой точки а и а' данной пары линий скольжения можно начать построение других линий скольжения. В результате получим ортогональную сетку (поле) линий скольжения, в общем случае криволинейную из двух семейств линий аир . Точки пересечения линий скольжения двух семейств называют узловыми точками.
Из рассуждений, на основании которых показана возможность построения поля линий скольжения, явствует, что для разных напряженных состояний поля линий скольжения различны и каждому определенному напряженному состоянию соответствует определенное поле линий скольжения. Касательные к каждой из двух линий скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений и пересекают ось х под какими-то углами со и со' (рис. 6.7), плавно изменяющимися при переходе от одной точки к соседней. Так же как сетку линий скольжения, можно построить ортогональную сетку траекторий главных напряжений. Эти траектории пересекают линии скольжения под углом л/4. Траектории главных напряжений ох и tf3, проходящие через точку а, показаны на рис. 6.7. Касательные к ним являются главными осями 1 и 3, которые пересекают ось х соответственно под углами <р и <р + л/2. Из рис. 6.7 следует, что для линий скольжения соответственно семейств и О как начальные или нулевые (криволинейные оси) и по отношению к ним определять положение на сетке любой точки а координатами аи р взамен координат х и г. Ясно, что декартовы координаты и криволинейные будут функционально связаны между собой. Как во всякой системе координат, в рассматриваемом случае при перемещении точки а вдоль одной из координатных линий, например вдоль линии а (в положении аъ а2 и далее), ее координата р останется постоянной; при перемещении же точки вдоль линии р (в положение ai, и далее) постоянной останется координата а.
 Поместим теперь начало координат О системы xz в произвольную точку а пересечения двух линий скольжения и направим оси х и г по касательным х' и z' к паре линий скольжения, пересекающихся в данной точке. Уравнения (6.13), а следовательно, и (6.14) при этом останутся в силе, так как при выводе уравнения (6.13) направления осей принимались произвольными.
В бесконечно малой окрестности точки а элементы дуг системы а, р можно считать совпадающими с касательными, по которым направлены новые оси x\z\ и, следовательно, можно принять.
 Угол же со теперь равен нулю в силу совпадения осей с касательными к линиям скольжения. Однако дсо/да и дсо/др в нуль не обратятся, так как угол со изменяется вдоль криволинейных коор?о динатных направлений. Учтя сказанное и заменяя в уравнении производные под:, г производными по а, р, получим. Поскольку точка а при выводе (6.15) являлась произвольной, постольку эти уравнения будут действительны для любой точки.
 Таким образом, от координат х, z в мы перешли к новым координатам а, р. Уравнения (6.15) являются также дифференциальными уравнениями равновесия и притом удовлетворяющими условию пластичности.
 Интегрируя уравнения, первое по а, второе по р, получим. В приведенное выше решение следует внести корректив, поскольку мы интегрировали уравнения в частных производных. Дело в том, что при дифференцировании по одной переменной функция другой принимается за постоянную и производная ее обращается в нуль. Следовательно, уравнение (а) может содержать какую-то функцию от р, производная которой обратилась в нуль в первом уравнении (6.15). Это обстоятельство надо учесть, заменяя в уравнении (а) произвольную постоянную Сх произвольной функцией от р. То же относится к уравнению (б), где постоянную С2 необходимо заменить произвольной функцией от а.
 В качестве произвольных функций от р и а примем соответственно. Тогда уравнения (а) и (б) можно написать в окончательной форме. Уравнения (6.16) носят название интегралов Генки.
 Произвольные функции 2кх\ (Р) и 2k\ (а) имеют постоянные значения при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения соответственно системы а и системы р и изменяются при переходе от одной линии скольжения к другой. Если бы линии скольжения а, р были нам всегда известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформации при отсутствии упрочнения.
 Пусть в какой-либо точке М данной линии скольжения напряжение оср = асрЛ1 и со = (оМу а в другой точке N той же линии. Подставляя эти данные, например, в первое уравнение системы.
 Но так как при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения произвольная функция не изменяется, то соответственно другое уравнение даст. Объединяя и несколько преобразовывая последние уравнения, получим
 а обозначая (ом — со через (oMNt где (oMN представляет собой угол поворота линии скольжения при переходе от точки М к точке At, имеем уравнение (6.18) показывает, что изменение аср пропорционально углу поворота линии скольжения, а коэффициентом пропорциональности является величина 2k.
 Выражения (6.16)—(6.18) имеют существенное значение. Действительно, если дана линия скольжения, а также известно напряжение аср в одной ее точке (например, из граничных условий), то уравнения (6.16)—(6.18) позволяют легко определить среднее напряжение в любой другой ее точке. Если же известно поле линий скольжения и напряжение в какой-либо одной узловой точке, то, переходя от одной узловой точки к другой, нетрудно установить распределение средних напряжений по всему полю. Зная же средние напряжения аср и углы со, легко определить и компоненты напряжений ох, of и тХ2, используя систему уравнений (6.13), что и будет показано дальше.
 Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то напряженное состояние не изменяется при движении вдоль этого отрезка. Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то напряженное состояние в этой области будет однородным, и, наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольжения представляет собой сетку ортогональных прямых.




 
Яндекс.Метрика