Основные понятия о линиях скольжения Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач, сущность которого будет изложена в этом параграфе, ведет свое начало от работ М. Леви (1871 г.), Г. Генки и Л. Прандтля (20-е годы) [1031. Дальнейшее развитие он получил в работах советских ученых А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, С. Г. Михлина, В. В. Соколовского, С. А. Христиановича и др., а также ряда иностранных ученых, как, например, Г. Гейрингер, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф. Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А. Д. Томленов, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофман, а также Е. М. Макушок, И. П. Ренне и др. Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств. Возьмем на плоскости xz в теле, находящемся в плоском деформированном состоянии, какую-нибудь точку ах (рис. 6.5) и отложим от нее вектор тх главного касательного напряжения. Перейдем в направлении этого вектора к точке а2> весьма близко отстоящей от точки аг. От точки а2 отложим вектор т2 главного касательного напряжения на этой точке. Вектор т2 в общем случае будет отличаться от вектора тх как по направлению, так и по величине. Поступая таким же образом дальше, мы получим в результате ломаную линию ахагаъа±аьаь и т. д.
Так как от взятой точки аг вследствие парности касательных напряжений можно отложить второй вектор т, перпендикулярный к ранее отложенному, то аналогичным способом от точки аг можно построить вторую ломаную линию aiayafciflsQe и т. д. В точке линии пересекаются под прямым углом. Понятно, что эти линии можно продолжить и по другую сторону от точки аг.
При неограниченном увеличении числа точек а и точек а' ломаные линии превратятся в плавные кривые, представляющие собой траектории главных касательных напряжений или линий скольжения.
Из каждой точки а и а' данной пары линий скольжения можно начать построение других линий скольжения. В результате получим ортогональную сетку (поле) линий скольжения, в общем случае криволинейную из двух семейств линий аир . Точки пересечения линий скольжения двух семейств называют узловыми точками.
Из рассуждений, на основании которых показана возможность построения поля линий скольжения, явствует, что для разных напряженных состояний поля линий скольжения различны и каждому определенному напряженному состоянию соответствует определенное поле линий скольжения. Касательные к каждой из двух линий скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений и пересекают ось х под какими-то углами со и со' (рис. 6.7), плавно изменяющимися при переходе от одной точки к соседней. Так же как сетку линий скольжения, можно построить ортогональную сетку траекторий главных напряжений. Эти траектории пересекают линии скольжения под углом л/4. Траектории главных напряжений ох и tf3, проходящие через точку а, показаны на рис. 6.7. Касательные к ним являются главными осями 1 и 3, которые пересекают ось х соответственно под углами <р и <р + л/2. Из рис. 6.7 следует, что для линий скольжения соответственно семейств и О как начальные или нулевые (криволинейные оси) и по отношению к ним определять положение на сетке любой точки а координатами аи р взамен координат х и г. Ясно, что декартовы координаты и криволинейные будут функционально связаны между собой. Как во всякой системе координат, в рассматриваемом случае при перемещении точки а вдоль одной из координатных линий, например вдоль линии а (в положении аъ а2 и далее), ее координата р останется постоянной; при перемещении же точки вдоль линии р (в положение ai, и далее) постоянной останется координата а.
Поместим теперь начало координат О системы xz в произвольную точку а пересечения двух линий скольжения и направим оси х и г по касательным х' и z' к паре линий скольжения, пересекающихся в данной точке. Уравнения (6.13), а следовательно, и (6.14) при этом останутся в силе, так как при выводе уравнения (6.13) направления осей принимались произвольными.
В бесконечно малой окрестности точки а элементы дуг системы а, р можно считать совпадающими с касательными, по которым направлены новые оси x\z\ и, следовательно, можно принять.
Угол же со теперь равен нулю в силу совпадения осей с касательными к линиям скольжения. Однако дсо/да и дсо/др в нуль не обратятся, так как угол со изменяется вдоль криволинейных коор?о динатных направлений. Учтя сказанное и заменяя в уравнении производные под:, г производными по а, р, получим. Поскольку точка а при выводе (6.15) являлась произвольной, постольку эти уравнения будут действительны для любой точки.
Таким образом, от координат х, z в мы перешли к новым координатам а, р. Уравнения (6.15) являются также дифференциальными уравнениями равновесия и притом удовлетворяющими условию пластичности.
Интегрируя уравнения, первое по а, второе по р, получим. В приведенное выше решение следует внести корректив, поскольку мы интегрировали уравнения в частных производных. Дело в том, что при дифференцировании по одной переменной функция другой принимается за постоянную и производная ее обращается в нуль. Следовательно, уравнение (а) может содержать какую-то функцию от р, производная которой обратилась в нуль в первом уравнении (6.15). Это обстоятельство надо учесть, заменяя в уравнении (а) произвольную постоянную Сх произвольной функцией от р. То же относится к уравнению (б), где постоянную С2 необходимо заменить произвольной функцией от а.
В качестве произвольных функций от р и а примем соответственно. Тогда уравнения (а) и (б) можно написать в окончательной форме. Уравнения (6.16) носят название интегралов Генки.
Произвольные функции 2кх\ (Р) и 2k\ (а) имеют постоянные значения при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения соответственно системы а и системы р и изменяются при переходе от одной линии скольжения к другой. Если бы линии скольжения а, р были нам всегда известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформации при отсутствии упрочнения.
Пусть в какой-либо точке М данной линии скольжения напряжение оср = асрЛ1 и со = (оМу а в другой точке N той же линии. Подставляя эти данные, например, в первое уравнение системы.
Но так как при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения произвольная функция не изменяется, то соответственно другое уравнение даст. Объединяя и несколько преобразовывая последние уравнения, получим
а обозначая (ом — со через (oMNt где (oMN представляет собой угол поворота линии скольжения при переходе от точки М к точке At, имеем уравнение (6.18) показывает, что изменение аср пропорционально углу поворота линии скольжения, а коэффициентом пропорциональности является величина 2k.
Выражения (6.16)—(6.18) имеют существенное значение. Действительно, если дана линия скольжения, а также известно напряжение аср в одной ее точке (например, из граничных условий), то уравнения (6.16)—(6.18) позволяют легко определить среднее напряжение в любой другой ее точке. Если же известно поле линий скольжения и напряжение в какой-либо одной узловой точке, то, переходя от одной узловой точки к другой, нетрудно установить распределение средних напряжений по всему полю. Зная же средние напряжения аср и углы со, легко определить и компоненты напряжений ох, of и тХ2, используя систему уравнений (6.13), что и будет показано дальше.
Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то напряженное состояние не изменяется при движении вдоль этого отрезка. Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то напряженное состояние в этой области будет однородным, и, наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольжения представляет собой сетку ортогональных прямых.