Метод верхней оценки применительно к плоской деформации разработали В. Джонсон и X. Кудо. Сущность его заключается в том, что объем очага деформации представляется в виде жестких (недеформируемых) блоков (треугольных по В. Джонсону), скользящих один относительно другого и по границам с жесткой зоной. Тем самым действительное поле линий скольжения заменяют полем, состоящим из системы прямолинейных отрезков, образующих треугольники. Вдоль границ блоков — сторон треугольников — компоненты скоростей перемещений претерпевают разрывы. Внутри каждого блока поле скоростей однородно, т. е. вектор скорости для всех точек данного блока один и тот же. На этом основании строят поле скоростей, которое при правильном построении всегда является кинематически возможным. Число и размеры треугольных блоков первоначально выбирают произвольно.
Вдоль границ между блоками касательные напряжения, возникающие при скольжении блоков, являются максимальными: %п = k. На свободных поверхностях, как всегда, тп = 0, а на контактных принимают от тп = ща до предельного значения. Поскольку блоки приняты жесткими, мгновенная мощность внутренних сил, включая контактное трение, выразится уравнением где ип — скорости скольжения вдоль границ треугольных участков, а 1п — длины сторон треугольников при плоской деформации, Ьп — длина проекции площадки контакта (в направлении оси у). Мощность, развиваемая деформирующей силой Р, где и о — скорость движения рабочего органа (скорость деформирования). Приравнивая выражения (6.29) и (6.30) и решая уравнение относительно Р, получим. Для плоской деформации, обозначив ширину проекции площадки контакта вдоль оси х через а, можно выразить удельное усилие. Для примера вернемся к задаче о внедрении плоского пуансона в полупространство и преобразуем непрерывное поле линии скольжения, предложенное Р. Хиллом, в кинематически возможное поле, состоящее из жестких треугольных блоков. Для этого заменим на рис. 6.16 дуги отрезками прямых. Тогда получим поле, представленное на рис. 6.28, а.
Вследствие симметрии поля относительно оси z на этом рисунке изображена его правая половина, что достаточно для дальнейших построений и расчетов. Цифрами обозначены: 0 — жесткая неподвижная зона; 1, 2 и 3 — блоки; 4 — свободное пространство; 5 — пуансон. Границы между зонами и блоками определяются двумя Цифрами, например 12 — границы между блоками / и 2; 34 — свободная поверхность; 15 — контактная поверхность. Длину соответствующих границ (линий) обозначаем соответственно /2з и "т. п. Компоненты скоростей блоков, нормальные к жесткопластической границе, т. е. соответственно к линиям 10, 20, 30, равны нулю, и блоки движутся вдоль указанных границ. Вдоль границ 12 и 23 блоков происходит разрыв скоростей. Для построения годографа от центра 0 по вертикали отложили вектор 05 скорости пуансона м0б, длину которого примем за единицу. Далее от конца вектора проводим линию, параллельную линии 15, а из точки 0 — линии 10. Пересечение этих линий определяет точку, т. е. конец вектора скорости бойка. Продолжая построение подобным образом далее, получим изображенный на рис. 6.28, б годограф. Линии годографа 12, 23 обозначают относительные скорости блоков вдоль линий разрыва 12, 23 (рис. 6.28, а) и12 и м23.
Теперь найдем верхнюю оценку деформирующего усилия. Задачу решим в общем виде, принимая угол а при основании равнобедренных треугольников как параметр. Согласно выражению (6.32) удельное усилие. Принимая тп = k = 0,5а* и выражая скорости и через Я| В угол а, а длины / через а и а, после простейших преобразований получим. Поле, изображенное на рис. 6.28, а, получено непосредственно из непрерывного поля по Р. Хиллу, и угол a = 45°. Подставляя это значение в уравнение (6.33), получим. Изменяя угол а, можно получить другие значения р. Наиболее правильное, естественно, то значение, которое будет наименьшим. В данном случае минимум функции (6.33), т. е. величины р, будет при угле a = 55°: что отличается в большую сторону на 10% от значения, полученного ранее на основе непрерывного поля линий скольжения.
Можно учесть контактное трение, введя в выражение в скобках в исходном уравнении еще один член тnabux. Если принять трение максимальным.
Для рассмотренной задачи получено аналитическое решение. В других сложных случаях можно остановиться на чисто графическом решении, взяв значения сторон треугольников и скоростей непосредственно из чертежа. При этом необходимо построить несколько вариантов разрывного поля и годограф к нему, чтобы получить величину верхней оценки, близкую к наименьшей. Достаточно удобный метод верхней оценки для осесимметричных задач разработал X. Кудо. В дальнейшем его усовершенствовал Ш. Кобаяши.