Метод баланса работ, основанный в конечном итоге на законе сохранения энергии, давно применяли многие исследователи, в том числе, например, С. Н. Петров [68!, Э. Зибель [281, А. Ф. Головин [81, И. Л. Перлин [671 и ряд других. Исходным положением этого метода, который называют также энергетическим, является следующее: при пластической деформации работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил. Работа AD представляет собой работу внутренних сил, иначе говоря — работу пластической деформации. Работа АВ — это работа внешних (поверхностных) сил, включая и работу внешних сопротивлений (т. е. сил контактного трения) Л у, которая противоположна по знаку работе активных (деформирующих) сил Аа. Учтя сказанное и рассматривая абсолютные значения работ, уравнение можно переписать так:
Здесь, как и дальше, принимают условие постоянства объема и упругую деформацию не учитывают. Следовательно, AD представляет собой работу деформации формы.
Ранее было указано, что удельная потенциальная энергия упругой деформации равна половине скалярного произведения компонент напряжений на компоненты соответствующих деформаций.. Этим положением можно воспользоваться и для нахождения работы AD. Однако в данном случае следует брать скалярное произведение полностью, а не половину его г.
Пусть для элементарного объема «dV» величина работы деформации. Тогда, используя главные напряжения и деформации, на основании предыдущего можно написать
Подставляя значения деформаций из уравнения (5.25а) и учитывая, что на основании уравнения.
При упругом деформировании напряжения увеличиваются от нуля прямо пропорционально деформациям, при пластической же деформации напряжения отличны от нуля и на малых этапах их можно принять постоянными то окончательно получим откуда работа деформации для всего объема. Наконец, поскольку согласно условию пластичности (5.1) а, = а„
Если упрочнение отсутствует, то о5 можно вынести за знак интеграла. Работа внешних (поверхностных) сил в общем виде определяется так: проекции сил, действующих по участку поверхности dFy на оси координат, а иХ1 иу и иг — соответствующие им перемещения в направлении этих осей. Работу внешних сил (поверхностных) часто можно выразить значительно проще, не прибегая к интегрированию уравнения.
Во всех приведенных уравнениях можно заменить деформации е скоростями деформаций г и перемещения и скоростями перемещений и. Тогда вместо работ получим соответствующие мощности w. Мощность внутренних сил wD называют мощностью пластической деформации. Определим усилие Р, необходимое для горячей осадки цилиндрической заготовки диаметром d и высотой h [101]. Деформация осесимметричная. Поэтому используем цилиндрические координаты р, 0 и г. Ось г расположим по оси заготовки. Примем следующие допущения: величину элементарных сил трения, т. е. касательных напряжений на контактных поверхностях (торцах цилиндра), будем считать постоянной (не зависящей от координат): тк = const; деформацию же, несмотря на наличие контактного трения, примем однородной.
Пусть высота цилиндра уменьшится на весьма малую величину Д/i. Тогда работа внешней активной силы. Уравнение (6.44) показывает, что действительная форма равновесия пластически деформируемого тела отличается от всех других мыслимых форм тем у что сообщает полной энергии минимальное значение [341. Это один из так называемых экстремальных принципов.
Практическое использование экстремальных принципов для решения задач в теории обработки металлов давлением начато сравнительно недавно в работах И. Я. Тарновского, А. А. Поздеева.
Метод баланса работ при использовании экстремальных принципов, в частности, дает возможность в большей степени, чем другие, приближенно описывать формоизменение в процессе деформации, например бочкообразность при осадке. Однако уравнение (6.44) является вариационным и, таким образом, применение принципа наименьшей энергии требует часто использования методов вариационного исчисления, и все же решения, как и при использовании всех других методов, можно получить только приближенные. В ряде случаев минимизацию решения можно выполнить элементарным путем.