Пластическая деформация
Строение металлов
Холодная пластическая деформация монокристалла
Элементы теории дислокаций
Движение дислокации и пере ползание дислокации
Вектор Бюргерса
Возникновение и размножение дислокаций
Силовые поля
Холодная пластическая деформация поликристалла
Равенство деформаций
Упрочнение при холодной деформации
Кривые упрочнения
Влияние температуры и скорости деформации
Виды деформации при обработке металлов давлением
Влияние температуры на сопротивление деформированию
Влияние горячей деформации на свойства металла
Условие постоянства объема
Степень деформации и смещенный объем
Влияние скорости деформации на пластичность
Сверх пластичность
Напряжения
Напряжения в координатных площадях
Напряжения в наклонной площадке
Понятие о тензоре напряжений
Главные касательные напряжения
Диаграмма напряжений Мора
Условия равновесия для объемного напряженного состояния
Осесимметричное напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Малые деформации и скорость деформаций
Неразрывность деформаций
Однородная деформация
Условие пластичности
Смысл энергетического условия пластичности
Связь между напряжениями и деформациями
Механическая схема деформации
Схемы главных напряжений
Принцип подобия
Контактное трение
Характер нагрузки
Принцип наименьшего сопротивления
Неравномерность деформаций
Методы определения деформирующих усилий
Решение дифференциальных уравнений
Основы метода расчета деформирующих усилий
Метод линий скольжения
Свойства линий скольжения
Характеристики
Методы графического построения
Жесткопластическая схема
Связь полей линий скольжения с полями скоростей
Построение годографа скоростей
Понятие о методе верхней оценки
Метод сопротивления материалов
Метод баланса работ
Понятие о пластическом методе
Краткое сопоставление различных методов
Осадка
Удельное усилие
Осадка правильной призмы и цилиндра
Осадка полосы конечной длины
Неоднородность деформации при осадке
Толстостенная труба под равномерным давлением
Протяжка
Протяжка заготовки круглого сечения
Выдавливание
Удельное усилие деформирования
Объемная штамповка в открытых штампах
Удельное усилие деформирования заусенца
Элементы штамповки в закрытых штампах
Скручивание
Уравнения равновесия
Дальнейшее увеличение кривизны
Вытяжка

Основы метода расчета деформирующих усилий по приближенным уравнениям равновесия и условию пластичности

 Непреодолимые трудности точного интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности привели к тому, что исследователи (Г. Закс, Э. Зибель, С. И. Губкин, И. М. Павлов, И. Л. Перлин, Е. П. Унксов, А. И. Целиков, Л. А. Шофман и др.) уже давно, с 20—30-х годов, при решении практических задач по определению деформирующих усилий (при осадке, протяжке, прошивке, выдавливании, прокатке, волочении и т. п.) вводили упрощающие предпосылки, составляли для каждого случая упрощенные уравнения равновесия и решали их совместно с условием пластичности, выраженным в главных напряжениях.
Однако вследствие отсутствия общей методики составления упрощенных уравнений и отсутствия учета влияния упрощающих предпосылок на точность получаемых результатов иногда возникали весьма значительные ошибки. Впоследствии Е. П. У иксов произвел детальный теоретический анализ возможности введения тех или иных упрощающих допущений и разработал метод составления и использования приближенных, а также ограниченных уравнений равновесия и пластичности, теоретически и экспериментально доказав их вполне достаточную практическую точность. Сформулируем этот метод, следуя в основном Е. П. Унксову 108, 1091, с учетом последующих уточнений.
 1. Задачу приводят к осесимметричной или плоской. В случае сложности формы деформируемого тела необходимо разбить его на ряд объемов, на которые можно наложить условия осесимметричной или плоской задачи.
 2. Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности (что и требуется для вычисления удельного усилия деформирования) при отказе от выявления распределения напряжений внутри тела.
 3. Дифференциальные уравнения равновесия (3.39), (3.50), (3.51), взятые в форме и координатах, отвечающих условиям задачи, упрощают. Для этого, в частности, принимают нормальные напряжения зависимыми только от одной из координат, что будет отвечать изложенному в п. 2, а зависимость касательных напряжений от соответствующей координаты обычно принимают линейной. В результате число дифференциальных уравнений равновесия сократится до одного, которое будет содержать простые производные взамен частных, как в точных уравнениях равновесия. С порядком упрощения дифференциальных уравнений равновесия мы ознакомимся в дальнейшем, в гл. 7, при рассмотрении операций обработки металлов давлением.
 4. Условия пластичности обычно используют также приближенные, которые приведены ниже. Рассмотрим возможности получения приближенны х условий пластичности. При анализе операций обработки металлов давлением в большинстве случаев необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия, составленными в компонентах тензора напряжений, т. е. в напряжениях, заданных не в главных координатных плоскостях.
 Отсюда следует, что для решения этих уравнений совместно с условием пластичности последнее надо бы выражать также в компонентах тензора: (5.5), (5.10), (5.12), (5.14) и (5.15). Все перечисленные уравнения являются достаточно сложными и, главное, нелинейными, что резко затрудняет совместное с ними решение дифференциальных уравнений равновесия даже для осесимметричной и плоской задач. Поэтому желательно эти уравнения упростить, заменив их
 линейными уравнениями, хотя бы и приближенными. Линейную форму имеет уравнение (5.18), которое при соответствующем выборе коэффициента | является точным при равенстве двух из трех главных напряжений (р = 1) и при плоском деформированном состоянии. Уравнение (5.18) определяет соотношение между главными нормальными напряжениями, необходимое для перехода в пластическое состояние. Однако для получения приближенного условия  можно допустить замену в уравнении (5.18) главных нормальных напряжений нормальными компонентами тензора в том случае, если его касательная компонента т относительно мала. Тогда, учитывая уравнения (5.18), а также (5.13), (5.17) и (5.19), получим следующие приближенные выражения условия пластичности для случая малых значений тк, величина которых будет уточнена дальше: а) осесимметричное напряженное состояние при ор =/= а0 ф ог
 Понятно, что, приняв в случаях «а» и «г», мы перейдем от энергетического условия пластичности к условию пластичности по постоянству главных касательных напряжений. Приближенные выражения условия пластичности типа  уже сравнительно давно применяли Э. Зибель [281, Г. Закс [127], С. И. Губкин, Е. П. Унксов, а впоследствии и многие другие исследователи. Однако в отдельных случаях ошибочно пользовались выражениями (6.6)—(6.9) при значениях т, близких к предельным (тк —* k), когда эти выражения неприемлемы. Для больших значений тк приближенное выражение условия пластичности было предложено Е. П. Унксовым [108]. Напишем условие пластичности для осесимметричного напряженного состояния (5.14) и плоского напряженного состояния в таких формах: Левые части уравнений (а) и (б), выражающие соотношение между нормальными напряжениями и постоянной crs, являются функцией касательного напряжения т. Величина последнего (абсолютная) может изменяться в пределах от нуля до максимальной величины, равной к.
 Если т = 0, то из уравнений (а) и (б) легко получить выражения (6.6), (6.7) и (6.8), принятые ранее в качестве приближенных для условия пластичности при тк —* 0. При подстановке же в уравнения (а) и (б) предельного значения т = . получаем. При подстановке т = k в уравнение (а) следует учесть, что сумма квадратов раз костей напряжений о может быть равна нулю только при равенстве этих напряжений.  Выражение (6.10), являющееся т очным 1 в случае т = /г, можно применять как приближенное при значениях т меньших, но достаточно близких к k. Для плоского напряженного состояния приближенного выражения, аналогичного равенствам (6.10), не существует.
 Исследуя уравнения (а) и (б), можно установить, что значения разности нормальных напряжений, вычисленные по приближенным выражениям (6.7) и (6.8), отличаются от действительных величин меньше чем на 5%, если тк < 0,3&, и? меньше чем на 10%, если т < 0,46. По мнению Е. П. Унксова, приближеннее выражения условия пластичности (6.6)—(6.9) можно применять вплоть до значений тк с 0,7&. Таким образом, выражения (6.6)—(6.9) можно считать  действительными при, приближенные же выражения (6.10) применимы в случае O<т. Весьма часто при решении практических задач условие пластичности необходимо для того, чтобы выразить производную одного напряжения по данной координате через производную другого напряжения по той же координате. Исследуем этот вопрос. Дифференцируя уравнение пластичности (5.15) для осесимметричного напряженного состояния (при ар = а0) и (5.12) для плоского деформированного состояния по какой-либо координате, например соответственно по р и х, получим
 Если значения т не зависят от координаты р или х (например, постоянны или изменяются параметрически), то правые части уравнений (в) и (г) обращаются в нуль. Тогда, учитывая, что разности нормальных напряжений в левой части уравнений в общем случае не равны нулю, получим для осесимметричного напряженного состояния при <гр = ае и для плоского деформированного состояния. Понятно, что уравнения (5.15) и (5.12) можно было бы дифференцировать и по любой другой координате. Таким образом, уравнения (6.11) представляют собой выражения условия пластичности в дифференциальной форме. При любых не зависящих от данной координаты значениях т выражения (6.11) будут точным условием пластичности для указанных видов напряженного состояния. Если же значения т зависят от данной координаты, то выражением (6.11) можно пользоваться как приближенным [97, 1081.
 Легко видеть, что уравнения (6.11) можно получить, кроме того, дифференцированием уравнений (6.7) и (6.10а), (6.8) и (6.106), а также (6.6) и (6.10а). Результаты дифференцирования уравнений показывают, что выражение (6.10а) пригодно как приближенное и для осесимметричного напряженного состояния.




 
Яндекс.Метрика