Компоненты перемещений и деформаций в элементарном объеме
При обработке давлением металл получает остаточные деформации значительной величины. Тем не менее необходимо знание основных положений и соответствующих дифференциальных зависимостей, относящихся к малым деформациям, так как всякий процесс пластической деформации часто можно и удобно рассматривать в каждый данный момент его протекания. Если тело деформируется, то каждая его точка смещается от своего первоначального положения. При этом, подразумевается, что тело находится в равновесии и не имеет возможности перемещаться как целое. Таким образом, считается, что перемещение каждой точки происходит исключительно вследствие деформации (т. е. жесткое перемещение отсутствует). Пусть координаты точки в начальный момент х, у, zt а в данный момент деформации (близкий к начальному) х', y'f z\ тогда представляют собой проекции перемещения на координатные оси, т. е. являются компонентами перемещения точки.
Для различных точек тела компоненты перемещения различны, и они и их производные являются непрерывными функциями координат.
Элементарный прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, при деформации последнего изменит не только свое положение, но и свою форму. В общем случае ребра параллелепипеда изменят длину, а углы перестанут быть прямыми. Получим деформации двух видов: линейные (удлинения) и угловые (сдвиги). При этом, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, можно считать, что угловые деформации (сдвиги) (при малой деформации элементарного объема) не влияют на линейные размеры. Относительные линейные деформации обозначим s с индексами, подобными принятым для напряжений а. Относительные сдвиги обозначим у с двумя индексами, как у напряжений т, указывая этими индексами координатную плоскость, на которую проецируется искажаемый деформацией угол. При этом относительные сдвиги считаются положительными, если им соответствует уменьшение угла со сторонами, направленными в положительном направлении координатных осей. Сказанное поясняет рис. 4.1.
Из изложенного следует, что компонент деформаций шесть. Выразим теперь компоненты деформации через компоненты перемещения. Выделим для этого в какой-либо точке М деформируемого тела элементарный параллелепипед с бесконечно малыми ребрами dx, dy и dz> параллельными осям координат, так, чтобы одна из вершин его совпадала с точкой М.
Пусть d — проекция этого элементарного параллелепипеда на плоскость ху до деформации, причем точка а является проекцией точки М.
После деформации точки а, Ц с, d получили перемещения. Точка а перешла в a', b — в Ы; с — в с\ d — в d'. Выразим перемещения точек b и с через перемещения точки а. Точка а получила перемещения их и и^, которые являются функциями координат точки М, проекцией которой служит точка
Точка b расположена. В отношении результатов деформации (искажения) формы совершенно безразлично, какие будут относительные значения углов ах у и ауХ9 лишь бы их сумма оставалась постоянной, равной уху. Это дает возможность каждую компоненту сдвиговой деформации представить в виде двух, рассматривая половины значений у и принимая индексы аналогично тому, как это было сделано для углов а. Например, вместо относительного сдвига уху взять ф уху и -J- уухУ причем у уху = ф уух. Индексация при
этом будет совпадать с индексацией напряжений т, и деформации можно записать так же, как записаны напряжения в уравнениях.
или, учитывая равенство компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали, является тензором деформаций, обладающим такими же свойствами, как и тензор напряжений (3.12). Он полностью определяет деформированное состояние точки, имеет такие же инварианты, как тензор напряжений, и его также можно разложить на шаровой тензор деформаций. Первый в общем случае упругой деформации выражает изменение объема (объемную деформацию), второй — изменение формы (девиаторную деформацию). При пластической деформации, как было показано ранее, объем тела не изменяется и сумма малых деформаций ех + е„ + е2 = 0, следовательно, и еС=0. Поэтому при пластической деформации шаровой тензор деформации равен нулю и тензор деформации является девиатором. Для осесимметричного напряженно-деформированного состояния в цилиндрических координатах запишем выражения деформаций без вывода. Величины Vo, jg| и || отличаются одна от другой лишь постоянным множителем. Главные линейные деформации связаны между собой следующими соотношениями: для плоского деформированного состояния для линейного растяжения и сжатия, где ВЙ—наибольшая по абсолютной величине главная деформация. Если эти выражения подставить в формулы (4.9), (4.10), (4.11), то можно убедиться, что величина октаэдрической деформации сдвига колеблется в пределах 0,816—0,941 от максимального главного сдвига.
Для плоского деформированного состояния интенсивность деформаций сдвига Ц равна наибольшему главному сдвигу, а интенсивность деформаций е,- составляет 1,1558х. Для линейного растяжения или сжатия интенсивность деформаций сдвига у{ в 1,155 раза больше максимального главного сдвига, а интенсивность деформаций равна наибольшей по абсолютной величине главной линейной деформации. Для других видов деформированного состояния yt и &i получают значения, промежуточные между указанными выше. Учитывая сказанное о возможной величине у0, yL и ег, можно написать следующие выражения: где I у |тах и 18 |тах — наибольшие по абсолютной величине главный сдвиг и главная линейная деформация. Для деформаций, так же как и для напряжений, пользуясь теми же приемами, можно построить диаграммы Мора, но в координатах 8 и у.
При пластической деформации объем тела остается постоянным и тензор деформации является Девиатором. Поэтому ось у всегда пересекает фигуру диаграммы. Ее положение легко определить построением, указанным на рис. 4.3.