Осадкой называют технологическую операцию, при помощи которой уменьшают высоту исходной заготовки с одновременным увеличением площади ее поперечного сечения.
По схеме деформации осадка представляет собой сжатие — деформация в направлении активного усилия отрицательна, а две другие деформации положительны. В частных случаях возможно равенство последних между собой (простое сжатие) или равенство одной из них нулю (плоская деформация).
В идеальном случае, при отсутствии сил трения, схема главных напряжений при осадке соответствует схеме столбца V ряда 4 по рис. 5.12 (линейное сжатие V.4). Во всех остальных случаях преобладающие схемы главных напряжений при осадке представляют собой схемы всестороннего неравномерного сжатия.
Осадка прямоугольной полосы неограниченной длины Поскольку длина заготовки предполагается неограниченной, постольку деформацию можно считать плоской, т. е. равной нулю в направлении длины заготовки. Искажением формы сечения пренебрегаем. Процесс деформации рассматриваем в каждый данный момент, следовательно, получим результаты, отвечающие всему периоду процесса. Оси координат расположим, как показано на рис. 7.1. Ось z направлена по высоте заготовки, т. е. по направлению активной силы. Если бы трение на контактной поверхности отсутствовало, то напряженное состояние было бы двухосным (III, 6). Трение же меняет схему напряженного состояния на схему III, 7. Направление элементарных сил трения на контактной поверхности заготовки, а следовательно, и контактных касательных напряжений показано на рис. 7.1. Согласно правилу знаков (стр. 78) касательные напряжения на половине фигуры справа от оси отрицательны, а слева положительны. В силу симметрии сечения относительно координатных осей достаточно рассматривать лишь первый квадрант.
Решение с применением точных уравнений равновесия и условия пластичности.
При заданных осях дифференциальные уравнения равновесия напишутся так (3.50). Подставляя эти значения произвольных функций в уравнения (е) и учитывая уравнение (г), имеем
Таким образом, нормальное напряжение ог является линейной функцией х и не зависит от г, а касательное «тхг» представляет линейную функцию г и не зависит от х. Решение (ж) получил Л. Прандтль.
Казалось бы, что по данному решению, выполненному без каких-либо допущений, а лишь при физически вполне возможном условии постоянства касательных напряжений на контактной поверхности, можно получить как эпюру нормальных напряжений на контактной поверхности, так и распределение напряжений внутри заготовки. Однако для заготовки конечной ширины краевым условием является отсутствие нормальных и касательных напряжений на свободных боковых поверхностях. Между тем третье уравнение системы (ж) показывает рост касательных напряжений тХ2 на свободных поверхностях от нуля при 2 = 0 до максимума тхг = k при z Щ 0,5ft в соответствии с принципом парности касательных напряжений. Кроме того,, при определении постоянной С из условия, что на свободной поверхности нормальное к ней напряжение ах Щ 0, получим нереальные значения для напряжений а2 по второму уравнению системы (ж). Дело заключается в том, что точное решение системы уравнений равновесия (3.50) при условии пластичности (5.12) в виде уравнений (ж) определяет лишь то напряженное состояние, которое асимптотически осуществляется на достаточно большом расстоянии от свободных поверхностей весьма широкой полосы.
Для получения на основе системы (ж) практически пригодного, но приближенного решения используем лишь одно второе уравнение системы (ж) пренебрегая остальными. При отсутствии трения напряжение of оставалось бы постоянным и равным — а. Можно предположить, что в крайних точках контактной поверхности, т.е. при * == :2:0,5а, и при наличии трения начально е значение напряжения аг также равно — а, и с этого значения абсолютная величина его растет по мере уменьшения координаты х.
Итак, полагая, что при х = 0,5а напряжение ог И—а, по уравнению получим а подставляя это значение постоянной в уравнение (7.1а), имеем. Так как тк принято постоянным, то его можно выразить только через «о» по уравнению (5.46), которое для плоского деформированного состояния получит вид
Подставив это выражение «ГК» в уравнение (7.1а), найдем окончательное значение. На рис. 7.2 представлена эпюра распределения нормальных напряжений на контактной поверхности полосы по формуле (7.16). Левая часть эпюры построена симметрично правой. При отсутствии контактного трения напряжения «сгг» по всей ширине полосы были бы одинаковы и равны. Наложенный на линию «ab» треугольник «acb» отражает влияние трения. Поскольку при плоском деформированном состоянии напряжения не зависят от координаты у, эпюра будет одна и та же для всех сечений, нормальных к оси. Определить деформирующую силу можно по интегралу (6.1а). Однако в данном весьма простом случае пользоваться выражением (6.1а) не обязательно. Действительно, площадь фигуры «mnbca» представляет собой не что иное, как деформирующую силу, отнесенную к единице длины / заготовки. Исходя из чертежа рис. 7.2, можно написать. Формула (7.26) является основной для определения удельного усилия осадки заготовок значительной длины с прямоугольным сечением при горячей деформации.
Решение с использованием приближенных уравнений равновесия и условия пластичности.
В соответствии с изложенным на стр. 180 при применении этого метода ищем распределение нормальных напряжений только на контактной поверхности. На этой поверхности напряжения не зависят от координаты г, так как эта координата здесь постоянна и равна 0,5h. Следовательно, для контактной поверхности. Касательное напряжение на контактной поверхности обозначим через тк, т.е. тХ2 = тк при z = 0,5ft. Напряжение тхг по мере удаления от каждой из контактных поверхностей будет по абсолютной величине уменьшаться и на оси х при г = 0 обратится в нуль, поскольку ось х является горизонтальной осью симметрии сечения полосы (см. рис. 7.1).
Допустим, что напряжение тХ2 является линейной функцией в этой точке должна быть непрерывной и иметь максимум, т. е. две ветви эпюры должны соединяться плавным переходом. Касательные напряжения на поверхности контакта имеют разные знаки справа и слева от оси г, так как направлены противоположно. Таким образом, при * = 0 касательное напряжение должно перейти через 0. На эпюрах (рис. 7.3) этот переход осуществляется с нарушением непрерывности функции тк, реальность чего также маловероятна. На основании сказанного возникает предположение, чт) в действительности вблизи оси z при каких-то значениях \х\ >0 начнется падение значений <гк с плавным переходом через 0 при х = 0. Если это принять, то при <гк = 0 и х = 0 из уравнения получим а это значит, что функция а2 на оси z будет иметь экстремум, и обе ветви эпюры ог плавно перейдут одна в другую.
Предположение о наличии падения значений абсолютной величины касательных напряжений на поверхности контакта при приближении к оси г подтверждается как экспериментально, так и теоретически методом линий скольжения.
С достаточным приближением к экспериментальным данным можно считать началом падения значений касательных напряжений точку х = xG = ft*, а законом их изменения принять дaтeльныe напряжения тк пропорциональны нормальным (тк = = участок В — касательные напряжения падают от \мг до нуля. Нормальные напряжения о2 определяются соответственно по участкам уравнениями (7.4) и (7.14). Напряжений состоит из одного участка В — касательные напряжения падают от рл* до 0; нормальные напряжения ог определяются уравнением (7.15). Наконец, может быть 5-й вариант. При р, = 0 и любом a/h существует один участок: касательные напряжения тк = 0 и нормальные напряжения ^ постоянны и равны — of; В. В. Соколовский показал, что можно принимать, также и при значении \i > 0, если отношение -Ц- < 1. Зоны действия вышеперечисленных вариантов представлены на рис. 7.7 в зависимости от значений a/h и Экспериментальные исследования С. И. Губкина [13, 14, 161, Е. П. Унксова [ 108], Я. М. Охрименко (631 и др. подтверждают наличие различных участков на контактной поверхности, а также в общих чертах и установленный выше характер распределения напряжений, особенно для образцов с большими отношениями a/h. Однако при экспериментах наблюдается появление вблизи краев образца дополнительных максимумов, по абсолютной величине значительно меньших центрального. Кроме того, у относительно высоких образцов, наблюдаются эпюры нормальных напряжений не куполообразной, а вогнутой формы с некоторым падением нормальных напряжений от краев к оси образца. Такая форма эпюры для высоких образцов получена также теоретически при исследовании методом линий скольжения 117, 91 и др.]. В дальнейшем при вычислении удельных усилий для высоких образцов.
Будем исходить все же из куполообразной формы эпюры по 4-му варианту, поскольку получаемые результаты достаточно оправдываются практикой Рис. 7.7 и весьма мало отличаются от получаемых методом линий скольжения. Значения удельных усилий (средних давлений) для различных вариантов. Зная распределение напряжений ог на контактной поверхности в пределах каждого участка и границы этих участков, можно определить деформирующие усилия, интегрируя уравнения, выражающие по площадям соответствующих участков контактной поверхности, на которых они действительны, и беря сумму этих интегралов. Так как эпюры симметричны относительно оси z, эту сумму надо удвоить. 1-й вариант. При -^--^2(1 -f-Ф) и 0 < |х < 0,5; по уравнениям (7.4), (7.9) и (7.11) В целях упрощения последующих после интегрирования алгебраических преобразований и получения более наглядного по форме результата несколько преобразуем выражение (а). Рис. 7.3 показывает, что второй интеграл можно взять в пределах не от h до xbt а от нуля до хь, вычтя при этом площадь О "с'О', которая отражает влияние менее интенсивного роста нормальных напряжений на участке В падения касательных напряжений. Третий интеграл в выражении (а) при этом отпадает.
