Эту задачу рассмотрим для случая, когда трение имеет значительную величину, принимая, что течение металла происходит по кратчайшим нормалям к периметру сечения (см. стр. 167). Касательные напряжения на контактной поверхности считаем постоянными и равными. Участками падения касательных напряжений пренебрегаем.
На рис. 7.11 представлена контактная поверхность с указанием границ течения в соответствии с принципом течения по кратчайшей нормали. Ось z перпендикулярна плоскости чертежа.
Примем, что изменение нормальных напряжений на контактной поверхности соответственно по координате х (для трапеций afed и bfec) и по координате у (для треугольников abf и ced) определяется уравнением (7.16).
В порядке обобщения постоянную а заменим на Pcrs, где Р — коэффициент 1-*-1,155 (см. стр. 135). Тогда для трапеций
для треугольников. Для получения деформирующего усилия Р распространим эти напряжения по всей контактной поверхности, взяв 2 раза по площади трапеций F{, и 2 раза по площади треугольника F2. Подобно тому, как формула (7.24) определяет удельное усилие и для квадратного, и для кругового сечения, формула (7.28) вполне пригодна для эллиптического сечения f 120].
Практически формулой (7.28) имеет смысл пользоваться до значений 1 < — <5 , примерно пропорционально изменяя коэффициент (5 в пределах соответственно от 1 до 1,155. При больших значениях На вполне возможно применять формулу (7.17а).
К формуле, аналогичной (7.28), исходя из других оснований и более сложным путем, значительно позднее С. И. Губкина пришел также В. Джонсон. В современной иностранной литературе эту формулу приводят в различной транскрипций со ссылкой на последнего [135, 136]. Для определения деформирующего усилия, необходимого для осадки полосы конечной длины, получены также решения методом баланса работ [101, 102]. Ввиду сложности течения металла в условиях этой операции, результаты теоретических решений иногда получали форму, не допускающую явного алгебраического выражения.