Пластическая деформация
Строение металлов
Холодная пластическая деформация монокристалла
Элементы теории дислокаций
Движение дислокации и пере ползание дислокации
Вектор Бюргерса
Возникновение и размножение дислокаций
Силовые поля
Холодная пластическая деформация поликристалла
Равенство деформаций
Упрочнение при холодной деформации
Кривые упрочнения
Влияние температуры и скорости деформации
Виды деформации при обработке металлов давлением
Влияние температуры на сопротивление деформированию
Влияние горячей деформации на свойства металла
Условие постоянства объема
Степень деформации и смещенный объем
Влияние скорости деформации на пластичность
Сверх пластичность
Напряжения
Напряжения в координатных площадях
Напряжения в наклонной площадке
Понятие о тензоре напряжений
Главные касательные напряжения
Диаграмма напряжений Мора
Условия равновесия для объемного напряженного состояния
Осесимметричное напряженное состояние
Плоское напряженное состояние
Малые деформации и скорость деформаций
Неразрывность деформаций
Однородная деформация
Условие пластичности
Смысл энергетического условия пластичности
Связь между напряжениями и деформациями
Механическая схема деформации
Схемы главных напряжений
Принцип подобия
Контактное трение
Характер нагрузки
Принцип наименьшего сопротивления
Неравномерность деформаций
Методы определения деформирующих усилий
Решение дифференциальных уравнений
Основы метода расчета деформирующих усилий
Метод линий скольжения
Свойства линий скольжения
Характеристики
Методы графического построения
Жесткопластическая схема
Связь полей линий скольжения с полями скоростей
Построение годографа скоростей
Понятие о методе верхней оценки
Метод сопротивления материалов
Метод баланса работ
Понятие о пластическом методе
Краткое сопоставление различных методов
Осадка
Удельное усилие
Осадка правильной призмы и цилиндра
Осадка полосы конечной длины
Неоднородность деформации при осадке
Толстостенная труба под равномерным давлением
Протяжка
Протяжка заготовки круглого сечения
Выдавливание
Удельное усилие деформирования
Объемная штамповка в открытых штампах
Удельное усилие деформирования заусенца
Элементы штамповки в закрытых штампах
Скручивание
Уравнения равновесия
Дальнейшее увеличение кривизны
Вытяжка

Методы графического построения

Что касается специальных методов графического построения полей линий скольжения, то основы их заложили В. Прагер, Ф. Ходж [73] и Р. Зауэр [ 128]. Л. А. Шофман и П. И. Перлин для решения сложных задач теории обработки металлов давлением применили разработанный ими метод, сущность которого заключается в замене плавных кривых линий скольжения ломаными линиями с постоянным углом между каждой парой смежных звеньев [17]. Значительный вклад в метод графического построения и анализа полей линий скольжения внес Е, М. Макушок 146].
 В качестве примера построим поле линий скольжения для осадки полосы шириной а и толщиной h плоскими шероховатыми плитами (трение на поверхности контакта максимальное). Вследствие симметрии относительно осей «х» и «г»достаточно рассматривать одну четверть сечения полосы (рис. 6.19, а). Так как свободная поверхность OA плоская, то она является границей поля однородного напряженного состояния (треугольник OA В, к которому следует примкнуть центрированное поле АБС, ограниченное линией скольжения ВС), представляющей собой дугу окружности. Точка А будет особой. Проведем из точки А пучок прямых под одинаковыми углами у между ними (принимаем у = зх/12), ограниченных дугой окружности ВС, и заменим дугу ломаной линией, состоящей из равных отрезков — хорд. Концы этих отрезков обозначены точками (0, 0), (О, 1), (0, 2) и (0, 3) *. Проведя затем отрезок (0, 1)—{1, 1) перпендикулярно отрезку (0, 0)—(0, 1), отрезок (0, 2)—(1, 2) перпендикулярно отрезку (0, 1)—(р, 2) и отрезок (1, 1)—(1, 2) параллельно отрезку {0, 0)—(0, 1), получим в их пересечении узловую точку (1, 2). Аналогично находим положение узлов 11, 3), (1, 4) и получаем линию скольжения 1 семейства а. Продолжая построение, далее определим другие линии семейства а и одновременно с ними и линии семейства р. В результате получим поле
 Первая цифра в индексе точки означает порядковый номер линии скольжения семейства а, вторая — семейства р, на пересечении которых лежит данная точка линий скольжения, состоящее из четырехугольных ячеек, у которых два угла равны по я/2, а два других по я/2 =. 7. При принятом граничном условии = fxsa* = Ц- a*^ линии скольжения семейства а при точном построении пересекают линию контакта ААХ под углом я/2, а для линий скольжения семейства р линия АЛ± является огибающей (рис. 6.19, а). Угол поворота линий скольжения каждого семейства при переходе от одной узловой точки к другой равен принятому углу 7. Поэтому значения напряжений (аср, ох, оу и т) и соотношения между ними можно вычислить столь же правильно, как и в случае точного построения поля. Ошибка будет заключаться в координатах узловых точек. Чем меньше угол 7, тем ближе ломаные линии поля приближаются к главным кривым и тем точнее координаты узловых точек. Однако построение вместе с тем становится более трудным. Целесообразно принимать угол 7 = 5-15°.
 Легко заметить, что до линии 3 системы р линия ААг не влияла на построение поля. Если бы линию контакта устранить, то было бы возможно продлить центрированное поле и продолжать построение, базируясь на продленную граничную линию скольжения ВС. Поле, построенное на базе двух пересекающихся линий скольжения (учитывая линию, расположенную симметрично ВС вниз), являющихся дугами окружностей, Э. Томсен называет «двух центровой веерной сеткой линий скольжения» [106], Е. М. Маку шок — «полем, образованным двумя дугами окружностей равного радиуса» [46]. Далее будет применяться последнее наименование. Это поле имеет исключительно большое значение, как позволяющее решать очень многие и разнообразные задачи [46, 106, 121, 124]. Поэтому оно было подвергнуто тщательному математическому анализу [46, 106, 113], и в настоящее время для его построения можно пользоваться таблицами вычисленных значений координат узловых точек.
 Координаты узловых точек в этих таблицах даны для определенных значений углов 7. За единицу измерения принят радиус А В дуг окружностей, образующих поле. Умножив приводимые цифры на У 2 , можно выразить табличные значения координат также и величинами, кратными отрезкам АО—ОВ (рис. 6.19, а).
 Поле, образованное дугами равного радиуса, рассмотрим подробнее в следующей задаче. Пусть металл, заполнивший штамп, начинает вытекать в обе стороны в зазоры между верхней и нижней частями штампа.
Длина штампа значительна, поперечные сечения по длине штампа одинаковы. Деформированное состояние можно считать плоским. Поле линий скольжения, по предположению Л. А. Шофмана, имеет вид, показанный на рис. 6.20. Вследствие симметрии как по отношению к оси z, так и по отношению к оси «х» достаточно рассмотреть участок поля, расположенный в одном квадранте. В нем три области: прямоугольный треугольник AM (О, U)У круговой сектор и криволинейный треугольник.
 В треугольнике ЛМ (0, 0) линия; представляет собой в данном примере свободную поверхность деформируемого тела. Следовательно, на этой линии ох 1= тХ2 = 0, и линии скольжения обоих семейств наклонены к ней под углом. Они образуют сетку ортогональных прямых. Напряженное состояние однородное. Напряжение здесь главное, сжимающее, и по условию пластичности.
Среднее напряжение. Касательные напряжения на оси х равны нулю. Параметры . и 11 также постоянны, так как постоянны ас р и со = я/4. Из формул (6.22) имеем
В круговом секторе А (0, 0) (0, 4) поле центрированное и состоит из дуг окружностей (семейство а) и ортогональных к ним р гдпусов (семейство (J). Вдоль каждого из радиусов напряженное сопояиие остается постоянным, но изменяется при переходе от одного радиуса к другому, т. е. при движении по линиям а. По этому достаточно для характеристики напряженного состояния в секторе А (0, 0) (0, 4) определить напряжения в узловых точках  р, 2), (0, 3) и (0, 4). В точке (0,
 Легко видеть, что в других точках, расположенных на линии скольжения, где п — порядковый номер линии скольжения второго семейства. По формуле (6.16) можно написать. Для данного случая. Подставляя /г = I, 2, 3 и 4, найдем аср в узловых точках на линии скольжения а0, а затем по уравнениям (6.13) и компоненты напряжений. Криволинейный треугольник (0, 0) (0, 4) (4, 4) представляет собой часть поля, образованного двумя дугами окружностей равного радиуса. При построении его на рис. 6.21 использована таблица Р. Хилла [ 113]. Единицей измерения служит отрезок hj2. В этой области, так же как и в треугольнике AM. (0,0), линии скольжения пересекают ось х под углами я/4, так как касательные напряжения вдоль этой оси, являющейся осью симметрии, отсутствуют. Узловые точки на дуге (0, 0)—(0,4) на рис. 6.21 выбраны на одинаковом, угловом, расстоянии у =='я/12 одна от другой. Такой выбор предо предел яет получение так называемой равно угольно й сетки линий скольжения. В таком поле угол со при переходе вдоль линии скольжения от одной точки к смежной с ней изменяется на одну и ту же величину, равную у.
 Поэтому, рассматривая, например, линию скольжения р4, легко установить, что угол со при переходе от точки (0, 4) до точки (4, 4) уменьшается на 4у. Тогда для линии р4 можно написать
 Раньше было установлено, что на линии а0 угол со = со0)0 + уп, поэтому ©(о, 4> Щ соо, о + riy, и, следовательно, для узловых точек, расположенных на линии р4, о) = со(о, о) +(л — т)у. Из выражения (6.25) видно, что угол со остается постоянным для всех узловых точек, у которых разность индексов (п — т) не изменяется. На рис. 6.21 такие точки соединены штриховыми линиями, которые представляют собой диагонали ячеек сетки. На этой же линии постоянны касательные напряжения тХ2, что следует из третьего уравнения (6.13).
 Другие диагональные линии, > соединяющие точки, у которых постоянна сумма индексов (п -Щ т), являются изобарами, т. е. среднее напряжение аср вдоль этих линий не изменяется. На рис. 6.21 они также проведены штриховыми линиями приближенно в виде прямых. Возьмем, например, точку (/, 2). При переходе от этой точки к точкам (19 3) и (2, 2) угол наклона касательных к соответствующим линиям скольжения изменяется на одну и ту же величину у. Следовательно, согласно уравнению
 (6.18) значения среднего напряжения в точках (1,3) и (2,2), для которых (п + m) = const = 4, будут одинаковы. Поскольку исходная точка (/, 3) была взята произвольно, вывод является общим. Вычисленные значения напряжений и параметров о, . и т] для всех узловых точек приведены в табл. 6.1. Данные таблицы показывают, что среднее напряжение а(т, П) в каждой из узловых точек можно выразить через ее индексы. Первое слагаемое в уравнении (6.26) представляет величину —k среднего напряжения а(о, о> в точке (0,0) для рассматриваемого случая. Поэтому для общего случая предыдущее выражение следует переписать так:
 Эти выражения дают возможность при заданном а(о, о> весьма просто определять компоненты напряжения в угловых точках рассматриваемого поля линий скольжения по их индексам.




 
Яндекс.Метрика