Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку, то ее напряженное состояние вполне определено. Проведем плоскость наклонно к осям координат (рис. 3.2). В результате получим фигуру тетраэдра Oabc, сливающегося с точкой О при бесконечном убывании величины его граней. Пусть N — нормаль к наклонной грани тетраэдра. Положение ее определится направляющими косинусами
cos ах щ cos (Ny х) = ах
cos а у = cos (Nу) = ау
cos ol2 = cos (Nt z) = az.
Пусть площадь наклонной грани будет AF, а площади остальных граней, т. е. треугольников ОВС, О АС и ОАВ, соответственно AFX9 AFy и AF2. Считаем, что на наклонную грань действует какое-то напряжение 5 (полное). Напряжения по координатным площадкам также даны. Проекции напряжения S на направления осей координат, или, что то же, компоненты напряжения S по осям координат, обозначаем Sx, Sy и Sr
Тетраэдр должен находиться в равновесии. Пишем условия равновесия, проецируя все действующие по его граням силы на оси координат. С изменением положения-наклонной площадки изменятся направление и координаты х, у, г конца вектора г, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравнением. Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название поверхности напряжений Коши. При изменении положения координатных осей, т. е. при отнесении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффициенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.
Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверхностью, определяемой уравнением. А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют главными нормальными напряжениями, их направления — главными и плоскости, на которых они действуют, — главными плоскостями. Таким образом, если оси ' координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) действуют только нормальные напряжения — главные.
Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и величины трех главных нормальных напряжений, которые обозначим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: а1э а2, о3. Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы а.
Если напряженное состояние точки задано главными напряжениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Компоненты по осям координат.