Детерминированный анализ металлических каркасов
Введение
Основные этапы развития моделей нелинейных систем
Методы решения уравнений движения
Моделирование нелинейной работы элементов конструкций
Методы определения напряжений и деформаций упругопластического тела
Основные направления исследований нелинейных систем
Вывод уравнений движения для нелинейной системы
Формирование матрицы масс
Формирование матрицы коэффициентов затухания
Задание динамической нагрузки
Формирование расчетных динамических моделей
Сокращение несущественных степеней свободы
Сокращение поступательных степеней свободы
Моделирование грунтового основания
Расчетные модели сейсмоизолированных систем
Расчетная модель составного металлического стержня
Основные положения теории пластичности
Функция упрочнения
Определение жесткостных характеристик
Определение модуля упругости замещающей системы
Критерии разрушения
Общая схема решения
Наборы элементов
Используемые алгоритмы
Жесткость элемента в упругой линейной постановке
Построение матриц жесткости стержня в упругой стадии работы
Учет геометрической нелинейности
Алгоритм расчета стержневой системы на статические нагрузки
Алгоритм детерминированного динамического анализа
Определение оптимального количества конечных элементов
Верификация программы в упругой стадии
Верификация блока определения усилий и перемещений
Верификация блока динамики
Исследования трубчатых образцов
Балка-стенка в условиях чистого изгиба
Экспериментальные исследования фрагментов стальной рамы
Сравнение с методикой А. В. Геммерлинга
Двухмассовая система виброизолированного объекта
Соударение двух зданий
Расчет двухярусной стальной рамы на сейсмические нагрузки
Исследование стальной рамы на воздействие одиночного импульса
Девятиэтажное панельное здание
Исследование стальной рамы на одиночный импульс
Реакция каркаса под вибростол в переходном режиме
Исследование влияния продольного изгиба стоек
Двухмассовая система
Десятиэтажное рамно-связевое здание
Исследование системы железобетонный каркас
Здание с гибким нижним этажом
Жесткое здание с гибкими этажами
Пространственный стальной каркас3
Численное исследование элементов сейсмоизоляции
Сейсмоизоляция с сухим трением
Сейсмоизоляция с демпферами вязкого трения
Заключение

Детерминированный анализ металлических каркасов

Вывод уравнений движения для нелинейной системы

Динамические нагрузки отличаются от статических двумя важными моментами. Во-первых, они изменяются во времени, следовательно, изменяется во времени и реакция (отклик) системы. В связи с этим динамическая задача не имеет единственности решения, как статическая. Во-вторых, при действии на систему динамических нагрузок возникают силы инерции, которые оказывают сопротивление ускорениям системы. В общем случае силы инерции возникают при любой скорости приложения нагрузок. Если приложенная нагрузка вызывает достаточно медленные движения системы, то силы инерции пренебрежимо малы и ими можно пренебречь. В этом случае можно применить методы статического расчета для любого момента времени.

Детерминированный метод определения динамической реакции может применяться только в том случае, когда характер изменения нагрузки во времени хорошо известен, даже если сама нагрузка по своей природе является сильно осциллирующей и нерегулярной. В монографии рассматривается только детерминированный динамический анализ.

Основная задача детерминированного анализа динамики сооружений — определение характера изменения во времени перемещений системы под действием заданной переменной нагрузки [167]. Другие параметры динамической реакции сооружения, такие, как деформации, напряжения, внутренние усилия и другие, вычисляют исходя из полученных распределений перемещений. В большинстве случаев приближенный анализ с учетом ограниченного числа степеней свободы дает приемлемую точность, и поэтому задача сводится к анализу временных функций изменения выбранных компонентов перемещений. Математические выражения, определяющие динамические перемещения, называются уравнениями движения сооружения. В результате решения этих уравнений можно определить искомые функции изменения перемещений во времени.

Вывод уравнений движения динамической системы представляет собой самый важный этап временного анализа. В настоящее время наиболее известны три метода вывода уравнений, каждый из которых обладает преимуществами при решении задач определенного класса:

метод равновесия с использованием принципа Даламбера;

принцип возможных перемещений;

использование дифференциальных уравнений Лагранжа (принцип Гамильтона).

Как показано в [167], все методы приводят к одному и тому же уравнению движения.

Для упругих систем уравнение движения обычно представляют в виде

где m, c — матрицы масс и демпфирования; r — динамическая жесткость; &y&(t), y& (t), y(t) — соответственно векторы ускорений, скоростей и перемещений системы в момент времени t; Р(t) — эффективная (динамическая) нагрузка.
Уравнение (2.1) неприменимо для анализа нелинейных систем, поскольку предполагает линейную связь между перемещениями и силами. Для вывода уравнения движения нелинейной системы используем метод равновесия. Уравнения движения любой динамической системы представляют собой выражение второго закона Ньютона, который устанавливает, что скорость изменения импульса любой массы равна действующей на нее силе:

где F(t) — вектор приложенной силы; y — вектор координат массы m.

Для большинства задач динамики сооружений масса, как правило, остается постоянной в течение всего воздействия. Тогда уравнение (2.2) получит вид

где точки обозначают дифференцирование по времени.

В общем случае сила F(t) может включать в себя разные виды сил, приложенных к массе. В исследовании металлических систем учитываются: силы упругого сопротивления (отпора); вязкого затухания (демпфирования); силы, обусловленные продольным изгибом и независимо заданные внешние нагрузки. Таким образом, если согласно принципу Даламбера ввести силу инерции, то уравнение движения системы будет выражать условие равновесия всех сил, приложенных к массе:

где Fd(t), Fs(t), Fg(t) — векторы сил демпфирования, отпора и продольного изгиба; P(t) — вектор внешней нагрузки (эффективная нагрузка).

Если известны скорости изменения сил, то уравнение (2.3) можно переписать в следующем виде:

где точки обозначают дифференцирование по времени.

Как показывают эксперименты [68, 178, 171], скорость изменения нагрузки не оказывает существенного влияния на физические свойства металла. Силы отпора зависят в основном от перемещений и практически не зависят от скорости изменения нагрузки. Продифференцировав силы отпора по перемещениям, получим выражение для скорости изменения сил отпора

Аналогичные преобразования можно произвести для сил продольного изгиба и демпфирования. Подставив выражения вида (2.5) в (2.4) и осуществив замену переменного (интегрирование подстановкой) [174], получим уравнение движения нелинейной системы

y(t) — начальное и текущее состояние системы. В начальный момент времени (t = 0) y& (0) = y(0) = 0. Так как все силы являются функцией одной переменной, то частные и главные производные эквивалентны.

Основываясь на экспериментальных данных, можно сделать вывод, что диссипативные свойства системы, отвечающие рассеиванию энергии вследствие вязкого трения, малы по сравнению с гистерезисным затуханием и практически не меняются в процессе воздействия. Таким образом, нелинейное поведение конструкции вызвано в основном неупругими свойствами металла и геометрической нелинейностью, связанной с продольным изгибом стоек. В монографии в основном исследуются системы с линейной диссипацией, тем не менее возможен учет демпферов с нелинейной частотной характеристикой. Это связано с использованием в последнее время демпферов вязкого трения с нелинейной характеристикой, применяемых для защиты конструкций и оборудования от вредного воздействия динамических нагрузок высокой интенсивности.

Интегрирование уравнения (2.6) осуществляется прямыми численными методами [167]. Для этого весь интервал воздействия разбивают на малые интервалы времени (шаги интегрирования) и на каждом интервале рассматривают линейную систему с динамическими характеристиками, определенными в конце предыдущего интервала:

где D&y& и Dy& — соответственно приращения ускорения и скорости; Dy — приращение перемещения на интервале. Ввиду малости перемещений можно пренебречь изменением геометрии конструкции в процессе воздействия, поэтому касательную геометрическую жесткость можно выразить через составляющие ее компоненты

где g — матрица коэффициентов геометрической жесткости; N(y) — нормальные силы в стержнях. Продифференцировав произведение, получим

Заменим дифференциал в уравнении (2.8) конечной разностью и подставим его в уравнение (2.7). Сгруппировав коэффициенты относительно неизвестных приращений, получим уравнение движения шагового метода

где у и N(y) — соответственно перемещения системы и нормальные силы в стойках на предыдущем шаге интегрирования; DN — приращение продольных сил на данном шаге.

Для решения уравнения (2.9) в разработанной программе используются два метода прямого интегрирования — метод Вильсона и метод Ньюмарка с постоянным ускорением в пределах шага интегрирования. Применение того или иного метода определяется пользователем на основании динамического анализа упругой системы. Оба они дают практически идентичные результаты. Метод Ньюмарка несколько быстрее метода Вильсона, но менее точен.



 
Яндекс.Метрика