Для решения систем линейных уравнений используется треугольное разложение симметрической матрицы вида
где D — положительно определенная диагональная матрица.
Алгоритм, представленный в таком виде, требует выполнения вдвое большего числа умножений, чем в разложении Холецкого [131]. Однако в этом варианте разложения удается избежать вычисления квадратного корня.
Решение уравнения A x = b находится по схеме
Перед проведением численного интегрирования уравнений движения необходимо определить период колебания по наивысшей форме для правильного определения шага интегрирования. Эта проблема решается посредством определения собственных чисел матрицы динамической жесткости. Для этого используется итерационная процедура, которая приводит исходную симметрическую матрицу к диагональному виду с помощью последовательности элементарных ортогональных преобразований (вращений Якоби [131], или плоских вращений). Процедура построена таким образом, что на k + 1-м шаге осуществляется преобразование вида
где Uk = Uk (p, q, j) — ортогональная матрица, отличающаяся от единичной только элементами
Исходную матрицу А в соответствии с соотношением (4.4) обозначают через A0.
В целом метод Якоби позволяет выполнить с определенной точностью преобразование исходной матрицы к виду
где D — диагональная, а V — ортогональная матрицы. Матрица D является пределом, к которому стремится последовательность матриц Аk при k ® ¥, а V — произведением всех промежуточных матриц плоских вращений, используемых для диагонализации исходной матрицы, т. е.
Таким образом, после выполнения вращений в матрице D находятся собственные числа, а в матрице V — собственные векторы. При этом собственные числа не упорядочены, собственные векторы нормированы таким образом, что VT m V = I.
Обращение матриц при формировании динамической модели осуществляется методом Гаусса. Эта процедура используется при сокращении числа динамических свобод в методе усечения единичной матрицы.
Интегрирование уравнений движения при расчете на динамические воздействия осуществляется q-методом Вильсона [167] или методом Ньюмарка с постоянным ускорением в пределах шага.
Для исследования стержневых металлических конструкций разработаны две программы: программа расчета тонкостенных стержней на различные виды статического нагружения [149] и программа динамического анализа пространственных стержневых систем [148].