Для упрочняющегося изотропного материала физические уравнения теории пластического течения записываются следующим образом [168]:
где f — функция напряжений; F — скалярная функция, зависящая от пластических деформаций, напряжений и программы нагружения (функция упрочнения); ij ij s , e — обобщенные напряжения и деформации.
Существует несколько способов задания функции напряжений в зависимости от применяемой теории прочности. Для металлов наиболее применима четвертая теория прочности, или теория октаэдрических касательных напряжений. Согласно этой теории пластическое состояние не зависит от вида напряженного состояния и наступает, когда энергия деформаций формоизме-нения достигнет определенного значения. Для плоского напряженного состояния в упругой стадии энергия деформации формоизменения для единицы объема имеет вид
Вывод формулы для общего случая приведен в [128]. Выражение, стоящее в скобках, соответствует второму инварианту девиатора напряжений. Для одноосного напряженного состояния
Энергия формоизменения зависит от уровня напряжений и не зависит от конкретного вида напряженного состояния, поэтому при одном и том же уровне напряжений энергии формоизменения единицы объема по формулам (3.2) и (3.3) будут равны. Приравняв правые части уравнений (3.2) и (3.3) и приняв s1 = sт, получим условие текучести Губера — Генки — Мизеса для плоского напряженного состояния, отражающее условие постоянства энергии формоизменения:
В теории пластического течения для упрочняющегося материала поверхность (3.4) сохраняется, но вместо константы sТ используется переменная si (интенсивность напряжения), характеризующая деформацию поверхности напряжения. Интенсивность напряжений — это величина одноосного напряжения, при котором энергия формоизменения сложного напряженного состояния в упругой стадии равна энергии формоизменения одноосного состояния с данной величиной напряжения. Численно интенсивность напряжений равна второму инварианту девиатора напряжений. Обычно функция напряжений задается в безразмерном виде f = si / sТ.
Подставив выражение для функции напряжений в (3.1) и представив скорости дифференциалами, получим выражения для пластических деформаций в приращениях