Детерминированный анализ металлических каркасов
Введение
Основные этапы развития моделей нелинейных систем
Методы решения уравнений движения
Моделирование нелинейной работы элементов конструкций
Методы определения напряжений и деформаций упругопластического тела
Основные направления исследований нелинейных систем
Вывод уравнений движения для нелинейной системы
Формирование матрицы масс
Формирование матрицы коэффициентов затухания
Задание динамической нагрузки
Формирование расчетных динамических моделей
Сокращение несущественных степеней свободы
Сокращение поступательных степеней свободы
Моделирование грунтового основания
Расчетные модели сейсмоизолированных систем
Расчетная модель составного металлического стержня
Основные положения теории пластичности
Функция упрочнения
Определение жесткостных характеристик
Определение модуля упругости замещающей системы
Критерии разрушения
Общая схема решения
Наборы элементов
Используемые алгоритмы
Жесткость элемента в упругой линейной постановке
Построение матриц жесткости стержня в упругой стадии работы
Учет геометрической нелинейности
Алгоритм расчета стержневой системы на статические нагрузки
Алгоритм детерминированного динамического анализа
Определение оптимального количества конечных элементов
Верификация программы в упругой стадии
Верификация блока определения усилий и перемещений
Верификация блока динамики
Исследования трубчатых образцов
Балка-стенка в условиях чистого изгиба
Экспериментальные исследования фрагментов стальной рамы
Сравнение с методикой А. В. Геммерлинга
Двухмассовая система виброизолированного объекта
Соударение двух зданий
Расчет двухярусной стальной рамы на сейсмические нагрузки
Исследование стальной рамы на воздействие одиночного импульса
Девятиэтажное панельное здание
Исследование стальной рамы на одиночный импульс
Реакция каркаса под вибростол в переходном режиме
Исследование влияния продольного изгиба стоек
Двухмассовая система
Десятиэтажное рамно-связевое здание
Исследование системы железобетонный каркас
Здание с гибким нижним этажом
Жесткое здание с гибкими этажами
Пространственный стальной каркас3
Численное исследование элементов сейсмоизоляции
Сейсмоизоляция с сухим трением
Сейсмоизоляция с демпферами вязкого трения
Заключение

Детерминированный анализ металлических каркасов

Сокращение поступательных степеней свободы

В рассмотренном в 2.5.1 примере исключались несущественные степени свободы, с которыми связано лишь небольшое количество кинетической энергии сооружения. На практике довольно часто приходится строить РДМ, в которой необходимо добиться значительного сокращения степеней свободы, в том числе по основным направлениям. В этом случае применяются методы, основанные на использовании обобщенных координат, характеризующих амплитуды предполагаемых перемещений [55, 167]. Все эти методы аналогичны методу Релея, основанному на равенстве максимальных значений кинетической и потенциальной энергий свободных колебаний недемп-фированной системы. Обобщение метода Релея для оценки высших форм колебаний дано Ритцем и известно как метод Релея — Ритца. Все эти методы применяются в основном для решения неполной проблемы собственных чисел и неприменимы для формирования РДМ. Для формирования значительно конденсированных РДМ наилучшим образом подходит метод последовательной частотно-динамической конденсации, предложенный А. В. Игнатье-вым [55].

Для правильного составления сокращенной РДМ второго этапа необходимо предварительно провести полный спектральный анализ РСМ и выбрать места приложения масс. Матрица жесткости сокращенной РДМ строится аналогично построению матрицы жесткости первого этапа — методом усечения единичной матрицы перемещений. Матрица масс РДМ второго этапа определяется из последовательного решения следующих уравнений:

где R — матрица жесткости усеченной системы; l — диагональная матрица первых n собственных чисел исходной системы; m — искомая матрица конденсированной системы.

Решение первого уравнения (2.23) относительно j может быть найдено методом обратных итераций [131]. В первом приближении матрица конденсированной системы m может быть найдена следующим образом:

1) для усеченной системы определяются собственные числа и векторы из условия

2) собственные векторы конденсированной системы определяются из предположения о равенстве частот полной и конденсированных систем:

где li — соответствующее собственное число полной системы;

3) матрица конденсированной системы вычисляется по второму уравнению (2.23).

Матрица масс, полученная по предлагаемой методике, не является диагональной. Приведение к диагональному виду может быть выполнено по [55].

Построение адекватной РДМ второго этапа по описанным методикам существенно зависит от выбора мест приложения конденсируемых масс. Следует также учитывать, что при детерминированном анализе нелинейных систем динамические характеристики последних могут существенно меняться в процессе воздействия и РДМ, полученная в результате спектрального анализа упругой системы, может оказаться неадекватной.

В детерминированном анализе сокращение степеней свободы осуществляется исключительно с целью увеличения шага интегрирования. Гораздо более эффективным с этой точки зрения является исключение несущественных форм колебаний посредством введения критических коэффициентов затухания в формулу формирования матрицы диссипаций (2.12).

Рассмотрим шарнирную балку, загруженную произвольной распределенной нагрузкой. Длина балки 8 м, жесткость 1 000 кНм2. В качестве эталонного примем решение с 19 сосредоточенными эквидистантно расположенными массами, собранными по грузовым площадям. Значения масс приведены в табл. 2.3. Максимальный шаг интегрирования для полной системы 5е–4 с.

Максимальный период колебаний составил 1,358, минимальный — 0,01 с. К массе № 7 приложена сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой 52,5 рад/с, что соответствует пятой форме колебаний. Задача построения динамической модели сводится к двум моментам: нахождению мест приложения и определению величин масс. Первую задачу можно решить, анализируя учитываемые формы колебаний полной системы (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Формы колебаний полной системы

Исходя из анализа форм колебаний полной системы массы динамической модели должны располагаться в точках 2, 6, 10, 14 и 18. Таким образом, точка 7 с приложенной к ней нагрузкой в указанную систему не попадает. Из этого положения может быть два выхода: либо добавить точку 7 к имеющемуся списку, либо заменить ближайшую к ней. Выберем второй путь и заменим в РДМ шестую точку седьмой. Определить величины масс по грузовым площадям или по правилу рычага [88] невозможно, так как в этих случаях динамические характеристики РДМ будут существенно отличаться от действительных. Для определения величин масс используем энергетическую форму метода последовательной конденсации [55]. Основной предпосылкой этого метода является допущение о равенстве кинетических энергий основной и конденсированной систем. Второе допущение заключается в том, что частоты и формы свободных колебаний конденсированной системы близки к основным частотам и формам колебаний полной. Строго говоря, в результате такой конденсации получается приближенная РДМ. При этом приближение можно осуществить либо по перемещениям, либо по усилиям. В табл. 2.4 представлены значения масс для усеченной РДМ, а также периоды колебаний по пяти формам.

На рис. 2.4 и 2.5 приведены перемещения масс № 7 и № 10 в процессе динамического воздействия для двух РДМ. Максимальные изгибающие моменты составили: 9,546 кНм для полной РДМ и 9,790 — для усеченной.

Рис. 2.4. Перемещение массы № 7: точки — перемещения полной системы

Рис. 2.5. Перемещение массы № 10: точки — перемещения полной системы

При применении второго подхода, т. е. введения критического затухания на высшие формы, шаг интегрирования может быть увеличен до 7е–3 с. При этом и перемещения, и максимальные усилия практически не отличаются от перемещений и усилий полной системы.

Таким образом, РДМ для детерминированного анализа может быть построена только с использованием первого этапа, т. е. исключаются степени свободы, связанные с небольшим количеством кинетической энергии. Исключение несущественных форм колебаний выполняется в процессе анализа посредством введения искусственного критического затухания на эти формы.



 
Яндекс.Метрика