Матрица демпфирования может приниматься пропорциональной матрице масс или матрице жесткости. В первом случае силы затухания обратно пропорциональны, а во втором прямо пропорциональны частоте колебаний.
Матрицу демпфирования очень часто принимают пропорциональной матрицам масс и жесткости. В соответствии с формулой Релея [119]
где с — матрица демпфирования; g — коэффициент неупругого сопротивления материала; w1, w2 — частоты собственных колебаний по характерным формам. В более общем случае матрица демпфирования имеет вид
где Ф — нормированная матрица форм колебаний (ФТ m Ф = E); z — диагональная матрица из элементов zn = gn wn.
Как известно, затухание имеет двойную природу — вязкое и гистерезисное. Гистерезисное затухание является преобладающим и не зависит от скорости (частоты) колебаний. Формула (2.12) является, по существу, компромиссным приведением гистерезисного затухания к вязкому. В расчете неупругих систем гистерезисное затухание учитывается при вычислении матрицы жесткости конструкции и не требует приведения к вязкому затуханию. Тем не менее вязкое затухание присутствует в любой конструкции и не связано с неупругими деформациями. Представление вязкого затухания в форме (2.12) является наиболее универсальным способом его учета в динамическом анализе. Кроме того, такая форма позволяет учитывать затухание при сочетании в одном сооружении разных материалов, например металлических надстроек над железобетонными зданиями, стальных каркасов первых этажей панельных зданий и т. д. Представление демпфирования в форме (2.12) актуально только при преобразованиях к нормальным координатам. В случае интегрирования уравнения движения прямыми методами структура матрицы демпфирования может быть произвольной.
Для учета демпферов активной сейсмозащиты матрица демпфирования принимается пропорциональной матрице жесткости. В этом случае коэффициенты матрицы демпфирования стержня вычисляются по формуле
где z — коэффициент приведения, определяемый по формуле
коэффициент неупругого сопротивления материала; w1 — собственная частота колебания по первой форме; kgij — коэффициенты матрицы жесткости стержня.
Матрица демпфирования системы в этом случае строится аналогично матрице жесткости.
Результаты расчета упругой неконсервативной системы не зависят от формы представления матрицы демпфирования. Выбор формы затухания определяется конкретной целью динамического анализа.